Instrumentális változók módszere

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. március 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Az instrumentális változók módszere (IP, IV - Instrumental Variables) a regressziós modellek paramétereinek becslésére szolgáló módszer , amely további, a modellben nem résztvevő, úgynevezett instrumentális változók felhasználásán alapul . A módszert akkor alkalmazzuk, ha a regressziós modell faktorai nem teljesítik az exogén feltételt , azaz véletlenszerű hibákkal függenek . Ebben az esetben a legkisebb négyzetek becslései elfogultak és inkonzisztensek .

Úgy tűnik, az instrumentális változók módszerét először Wright (Wright) fogalmazta meg 1928-ban a keresleti és kínálati görbék becslésére szolgáló módszerként . Magát a „műszerváltozók” kifejezést először Riersol egy 1941-es cikkében használta, amikor a változók hibáit tárgyalta. Továbbá a módszert Durbin (1954), Sargan (1958) és mások munkáiban fejlesztették ki. Egyidejű egyenletrendszerek kontextusában a módszert párhuzamosan fejlesztették ki "kisebb négyzetek kétlépéses módszere (LSM)" néven. )".

A módszer lényege

Legyen egy lineáris regressziós modell

$y=Xb+\varepsilon$

Szabványos OLS becslő

${\hat {b}}_{OLS}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y=b+V_{x}^{-1}C_{x\ varepszilon }$

ahol . $V_{x}={\frac {1}{n}}X^{T}X,C_{x\varepsilon }={\frac {1}{n}}X^{T}\varepsilon$

Ez a becslés nyilvánvalóan konzisztens, ha valószínűségében konvergál valamilyen nem szinguláris mátrixhoz, és valószínűségében konvergál a nulla vektorhoz. A második feltétel akkor teljesül, ha a tényezők és a véletlenszerű hibák nem korrelálnak egymással. $V_{x}$ $C_{x\varepsilon }$

Ha a tényezők és a véletlenszerű hibák korrelálnak, akkor a második feltétel nem teljesül, és ezért az OLS-becslések nem konzisztensek. Vagyis a becslések még nagyon sok megfigyelés esetén sem közelíthetik meg a valódi értékeket.

Legyen véletlenszerű hibákkal nem korrelált Z faktor, amelyek száma megegyezik a kezdeti tényezők számával. Ezeket a változókat instrumentális változóknak nevezzük . Ezek között lehetnek „tisztán” instrumentális változók (hiányzik a modellben) és modellváltozók is (ez utóbbiakról feltételezzük, hogy exogének). Ekkor az instrumentális változók módszerének becslése a következő formájú becslés:

${\hat {b}}_{IV}=(Z^{T}X)^{-1}Z^{T}y=b+V_{xz}^{-1}C_{z\ varepszilon }$

Ha a mátrix valószínűsége konvergál egy nem degenerált és egy nulla vektorhoz, akkor az IP módszer becslése konzisztens. ${\displaystyle V_{zx))$ ${\displaystyle C_{z\varepsilon ))$

A legegyszerűbb regresszió esete

Az IP modellnél a b együttható becslése egyenlő $y_t=a+b x_t+\varepszilon_t$

${\hat {b}}={\frac {Cov(z,y)}{Cov(z,x)))$

Megjegyzés

A következetesség ellenére az IP-becslések általában elfogultak és nem hatékonyak. Az IP becslések annál jobbak, minél erősebben korrelálnak az instrumentális változók a modell eredeti tényezőivel (miközben nem korrelálnak véletlenszerű hibákkal). A hangszeres változók kiválasztása külön, meglehetősen bonyolult probléma. Nincsenek szigorú ajánlások az eszközök kiválasztására vonatkozóan.

Megmutatható, hogy az IP-módszer becslése kétlépéses eljárásra redukálható: először a közönséges legkisebb négyzetek segítségével meg kell becsülni a bemeneti tényezők függését az eszközöktől, és a faktorok kapott becsléseit kell használni maguknak a tényezőknek a helyett. hogy megbecsüljük az eredeti modell paramétereit. Ez az úgynevezett kétlépcsős MNC.

Általánosított instrumentális változó módszer

Instrumentális változóként választhatók az OLS becslések a faktorok regressziójára néhány más Z változóra, amelyek száma nem kevesebb, mint a kezdeti faktorok száma. Vagyis az első szakaszban ki kell értékelni a regressziót a hagyományos legkisebb négyzetekkel: ${\displaystyle X=Z\beta +u_{t))$

${\hat {\beta }}_{OLS}=(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X$ .

Ekkor az instrumentális változók mátrixa ebben az esetben egyenlő lesz

${\hat {X}}=Z{\hat {\beta }}=Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X=P_{Z}X$

A második szakaszban az instrumentális változók módszerét alkalmazzuk a kapott eszközökkel : ${\kalap {X}}$

${\hat {b}}_{IV}=({\hat {X}}^{T}{\hat {X}})^{-1}{\hat {X}}^{T }y=(X^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y$

Ha a modell véletlen hibáinak kovarianciamátrixa egységgel arányos , akkor ezen becslések kovarianciamátrixa egyenlő $\sigma ^{2}I$ $V_{{\hat {b}}_{IV}}=\sigma ^{2}(X^{T}P_{Z}X)^{-1}$

Ha a z eszközök száma megegyezik az eredeti változók számával (a pontos azonosítási eset ), akkor a mátrixok négyzet alakúak. Következésképpen $Z^{T}X,~X^{T}Z$

${\hat {b}}_{IV}=(X^{T}Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X)^{-1}X^{ T}Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}y=(Z^{T}X)^{-1}(Z^{T}Z)(X^{T} Z)^{-1}(X^{T}Z)(Z^{T}Z)^{-1}(Z^{T}y)=(Z^{T}X)^{-1} Z^{T}y$

Vagyis megkapjuk az instrumentális változók módszerének klasszikus képletét. Így annak ellenére, hogy ez a módszer speciális esetként származik, mégis a klasszikus IP módszer általánosításának tekinthető. Ez a műszeres változók úgynevezett generalizált módszere (GIVE - Generalized Instrumental Variables Estimator) .

Kapcsolat a kétlépéses legkisebb négyzetekkel

Megmutatható, hogy ha a második szakaszban nem az instrumentális változók módszerét, hanem a szokásos legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk, akkor pontosan ugyanazt a képletet kapjuk, mivel

${\hat {X}}^{T}{\hat {X}}=X^{T}P_{Z}^{T}P_{Z}X=X^{T}P_{Z} X={\kalap {X}}^{T}X$

Következésképpen

${\hat {b}}_{TSLS}=({\hat {X}}^{T}{\hat {X}})^{-1}{\hat {X}}^{T }y=({\kalap {X}}^{T}X)^{-1}{\hat {X}}^{T}y=(X^{T}P_{Z}X)^{- 1}X^{T}P_{Z}y={\kalap {b}}_{GIVE}$

Így a műszeres változók általánosított módszere egyenértékű a kétlépéses legkisebb négyzetek módszerével ( DMNC, TSLS, 2SLS - Two-Stage Least Squares ).

Lásd még

Irodalom

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ökonometria. Kezdő tanfolyam. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .