Szimultán egyenletrendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. november 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A szimultán egyenletrendszer ökonometriai egyenletek halmaza (gyakran lineáris ), amely meghatározza a gazdasági változók kölcsönös függőségét. Az "egyidejű" egyenletrendszer fontos megkülönböztető jegye a többi egyenletrendszertől , hogy ugyanazon változók jelen vannak a rendszer különböző egyenletek jobb és bal oldalán (a modell ún. szerkezeti formájáról beszélünk). , lásd lejjebb).

A változókat endogénnek nevezzük, amelyek értékeit a vizsgált gazdasági rendszer működési folyamata határozza meg. Értékeiket "egyidejűleg" határozzák meg néhány exogén változó értékei alapján, amelyek értékeit a modellen kívül határozzák meg, kívülről állítják be. A szimultán egyenletrendszerekben az endogén változók exogén és endogén változóktól egyaránt függnek.

A változók közötti kapcsolat szorosságának mérése, izolált regressziós egyenletek felépítése nem elegendő a komplex gazdasági rendszerek működésének magyarázatához. Az egyik változóban nem lehet változás, miközben a többi teljesen változatlan marad. Változása az egymással összefüggő jellemzők teljes rendszerében változásokat von maga után. Így egyetlen regressziós egyenlet nem jellemezheti az egyes jellemzők valódi hatását a kapott változó változására . Ezért a közgazdasági kutatásban fontos helyet kapott a változórendszer közötti kapcsolatok szerkezetének leírásának problémája.

Szerkezeti és redukált forma. Azonosíthatóság

A rendszer szerkezeti formája egy olyan rendszerábrázolás, amelyben egynél több endogén változó is jelen lehet az egyenletekben (standard jelöléssel ez azt jelenti, hogy az egyenletek jobb oldalán, azaz regresszorként endogén változók találhatók). A rendszer szerkezeti formája a gazdasági változók közötti kölcsönös függőség rendszerét írja le.

${\begin{cases}y_{1t}=\sum _{(i\not =1)}a_{1i}y_{it}+\sum _{j=1}^{q}b_{1j }x_{jt}+\varepsilon _{1t}\\y_{2t}=\sum _{(i\not =2)}a_{2i}y_{it}+\sum _{j=1}^{ q}b_{2j}x_{jt}+\varepsilon _{2t}\\...\\y_{pt}=\sum _{(i\not =p)}a_{pi}y_{it}+ \sum _{j=1}^{q}b_{pj}x_{jt}+\varepsilon _{pt}\\\end{cases}}$

Az endogén változók bal oldalra történő átvitelével a szerkezeti forma a következő mátrix formában ábrázolható

$YA=XB+E$

A rendszer redukált (prediktív) formája a rendszer reprezentációja, amelyben minden egyenletnek csak egy endogén változója van, vagyis az endogén változókat exogén változókon keresztül fejezzük ki:

$Y=X\Pi+U$

Ez az úgynevezett korlátlan redukált forma. A szerkezeti forma a következőképpen írható fel:

${\displaystyle Y=XBA^{-1}+EA^{-1))$

Ez az úgynevezett korlátozott redukált forma, azaz egy redukált forma, amely a következő alak együtthatóira korlátozódik: . $\Pi =BA^{-1}$

Ha adott egy szerkezeti forma, akkor mindig lehetőség van egy korlátozott redukált forma elérésére (feltételezzük, hogy az A mátrix nem degenerált). Ennek ellenkezője azonban nem mindig lehetséges, és ha lehetséges, nem mindig egyértelmű.

Egy szerkezeti egyenletet azonosíthatónak nevezünk , ha együtthatói a redukált alak együtthatóival fejezhetők ki. Ha ez egyféleképpen megtehető, akkor pontos azonosíthatóságról beszélnek , ha többféleképpen - túlazonosíthatóságról . Ellenkező esetben azonosíthatatlannak nevezik. A túlazonosítás valójában azt jelenti, hogy bizonyos korlátozásokat (túlazonosítást) szabnak a redukált forma együtthatóira. A teljes redukált formában minden exogén változó szerepel, és nincs korlátozás az együtthatókra.

A szerkezeti egyenlet azonosíthatóságának szükséges feltétele ( ordinális feltétel ): az egyenlet jobb oldalán lévő változók száma nem haladhatja meg a rendszer összes külső változójának számát . A kanonikus formában (amikor nincs "bal" és "jobb" rész) ezt a feltételt néha a következőképpen fogalmazzák meg: az adott egyenletből kizárt exogén változók száma nem lehet kevesebb, mint az endogén változók száma, amelyeket az egyenlet tartalmaz. egyenlet mínusz egy. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor az egyenlet nem azonosítható. Ha egyenlőségjellel hajtjuk végre, akkor valószínűleg pozitívan azonosítható, ellenkező esetben túlazonosítható.

A szerkezeti egyenlet azonosíthatóságának elégséges feltétele : az ebben az egyenletben hiányzó változók együtthatóiból (más egyenletekben) összeállított mátrix rangja nem kisebb, mint a rendszer összes endogén változóinak száma mínusz egy.

Példák

A legegyszerűbb makroökonómiai (keynesi) modell

${\begin{cases}C_{t}=a+bY_{t}+\varepsilon _{t}\\Y_{t}=C_{t}+I_{t}\end{cases))$

Itt C és Y a fogyasztás (fogyasztói kiadás) és a jövedelem a modell endogén változói, I a beruházás a modell exogén változója, b a fogyasztási határhajlandóság.

A modell adott formája így néz ki:

${\begin{cases}C_{t}=a/(1-b)+b/(1-b)I_{t}+\varepszilon _{t}/(1-b)=c_{0 }+(m-1)I_{t}+u_{t}=\pi _{11}+\pi _{12}I_{t}+u_{t}\\Y_{t}=a/(1 -b)+1/(1-b)I_{t}+\varepszilon _{t}/(1-b)=c_{0}+mI_{t}+u_{t}=\pi _{21} +\pi _{22}I_{t}+u_{t}\end{cases}}$

Az értéket befektetési szorzónak nevezzük (a befektetés egységnyi növekedése lényegesen nagyobb jövedelemváltozáshoz vezet). $m=1/(1-b)$

Ellenőrizheti az ordinális azonosíthatósági feltételt. A jobb oldali első egyenletben 1 endogén változó van, exogén változók nincsenek (az állandót figyelmen kívül hagyva). A modellben 1 exogén változó található (konstans nélkül is). Így az azonosíthatóság ordinális (szükséges) feltétele teljesül.

Látható, hogy a redukált forma két korlátozással és . $\pi _{11}=\pi _{21}$ $\pi _{22}-\pi _{12}=1$

Rekurzív egyenletrendszerek

A szimultán egyenletrendszerek speciális esete az ún. rekurzív rendszerek , amelyekben az endogén változók együtthatóinak mátrixa háromszög alakú (általában alsó háromszög). Ez azt jelenti, hogy az első egyenletben egy endogén változó csak exogén változókon keresztül fejeződik ki. A második, a második endogén keresztül exogén és esetleg az első endogén. A harmadik - az exogén és az első két endogén révén stb. Egy ilyen modellt tisztán rekurzívnak mondunk , ha ráadásul a különböző egyenletek véletlenszerű hibái nem korrelálnak egymással.

Módszerek szimultán egyenletrendszerek becslésére

A közönséges legkisebb négyzetek módszerének közvetlen alkalmazása egy rendszer egyenleteinek becslésére (strukturális formában) nem megfelelő, mivel a szimultán egyenletrendszerekben a regresszióanalízis legfontosabb feltétele, a tényezők exogenitása sérül. Ez a paraméterbecslések torzításához és inkonzisztenciájához vezet .

Közvetett legkisebb négyzetek

A rendszer redukált formájára a közönséges legkisebb négyzetek módszere alkalmazható, mivel ebben a formában minden tényezőt exogénnek feltételezünk. A legkisebb négyzetek indirekt módszerének ( KMNK , ILS ) lényege, hogy a strukturális együtthatók becslését az analitikus kifejezésbe behelyettesítjük az utóbbiak adott, a szokásos legkisebb négyzetek módszerével kapott becsléseitől való függésükkel. A kapott becslések következetesek lesznek.

A legkisebb négyzetek indirekt módszerének alkalmazása csak akkor lehetséges, ha a rendszer pontosan azonosítható. A rendszer egyenletei azonban gyakran túlságosan azonosítottak. Ebben az esetben több aszimptotikusan ekvivalens, de eltérő becslés létezik a szerkezeti formaparaméterekre, és általában nincs kritérium a választásra közöttük.

Kétlépcsős legkisebb négyzetek

A kétlépéses legkisebb négyzetek módszerének ( DMLS , TSLS , 2SLS ) lényege a következő:

1. lépés: Az endogén változók minden exogén változótól való függését a szokásos legkisebb négyzetek módszerével becsüljük meg (valójában a korlátlan redukált formát becsüljük meg).

2. lépés A modell szerkezeti formáját a közönséges legkisebb négyzetek módszerével becsüljük meg, ahol endogén változók helyett azok első lépésben kapott becsléseit használjuk.

A rendszer pontos azonosíthatósága esetén az LSLS-becslések egybeesnek az LSLS-becslésekkel.

Megmutatható, hogy az egyes egyenletek paramétereinek LSSM becslései valójában egyenlőek:

${\hat {\beta }}_{TSLS}=(Z^{T}WZ)^{-1}Z^{T}WY~,~~W=X(X^{T}X) ^{-1}X^{T}$

ahol Z az összes változó mátrixa az egyenlet jobb oldalán, X a rendszer összes exogén változójának mátrixa.

Háromlépcsős OLS

A kétlépéses legkisebb négyzetek módszerében tulajdonképpen a szerkezeti forma minden egyenlete a többi egyenlettől függetlenül kerül kiértékelésre, vagyis a szerkezeti forma egyenletei véletlenszerű hibáinak esetleges egymáshoz való viszonyát nem veszik figyelembe. A háromlépéses legkisebb négyzetek módszerében ( TMLS , 3SLS ) az első két lépés megegyezik az LSLS-sel, és hozzá kell adni:

3. lépés : A szerkezeti egyenletek maradékainak LMNC becslései alapján elkészítjük a rendszer véletlenszerű hibavektorának kovariancia mátrixának becslését és segítségével az együtthatók új becslését az általánosított legkisebb négyzetek felhasználásával. módszer .

Ha az egyenletek között korrelációk vannak, akkor az LSLS becsléseknek elméletileg jobbnak kell lenniük, mint az LSLS becsléseknek.

Maximális valószínűségi módszerek

A Full Information Maximum Likelihood Method ( FIML ) egy olyan módszer, amely a modell redukált formájára vonatkozó megszorításokkal kapcsolatos összes információt felhasználja.

A korlátozott információs maximális valószínűség módszere ( LIML , Least Dispersion Ratio Method ) egy rendszer egyetlen egyenletének becslésére szolgál . A többi egyenletet csak az adott egyenlet értékeléséhez szükséges mértékben értékeljük ki. Az elsőt strukturális formában, a többit korlátlanul csökkentett formában értékeljük, vagyis nem minden rendelkezésre álló információt használunk fel az értékelésben. Ez a módszer egy bizonyos szimmetrikus mátrix minimális sajátértékének meghatározására redukálódik.

Egyidejű egyenletrendszerek tesztelése

Tesztelje a túlzott korlátok azonosítását

A túlazonosító kényszerek tesztelésére egy valószínűségi arány tesztet használhatunk olyan statisztikával , amelynek eloszlása a szabadságfok száma megegyezik a megszorítások számával. A rendszer koncentrált logaritmikus likelihood függvényei egy állandóig a következőképpen alakulnak: $LR=2(l_{c}^{L}-l_{c}^{S})$ $\chi ^{2}$

$l_{c}=-{\frac {n}{2}}\ln |(YX\Pi )^{T}(YX\Pi )|$

ahol a hosszú modellre nincs korlátozva, de egy rövidre . $\Pi$ $\Pi =BA^{-1}$

Jegyzetek

Lásd még

Irodalom

Ayvazyan S.A. Alkalmazott statisztika. Az ökonometria alapjai. 2. kötet - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 p. - ISBN 5-238-00305-6 .
Kremer N.Sh., Putko B.A. Ökonometria. - M . : Unity-Dana, 2003-2004. — 311 p. — ISBN 8-86225-458-7 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ökonometria. Kezdő tanfolyam. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ökonometria. Tankönyv / Szerk. Eliseeva I.I. - 2. kiadás - M. : Pénzügy és statisztika, 2006. - 576 p. — ISBN 5-279-02786-3 .

Maga a "szimultán egyenletrendszer" kifejezés helytelen. És mi van, vannak különböző időbeli egyenletek? Az a tény, hogy ez az analfabéta angol nyelvű pauszpapír elterjedt az orosz irodalomban (sőt az ökonometriai tankönyvekben is), nem szolgálhat mentségül. Elég belenézni bármelyik angol-orosz matematikai szótárba, és látni fogja, hogy a "egyenletek" szót "egyenletrendszernek" fordítják. A "simutaneous" jelző jelentése az angol kifejezésben, hogy ezeket az egyenleteket egyszerre kell megoldani, és nem külön-külön (és egyáltalán nem azt, hogy ezek az egyenletek "egyidejűek").