Bináris logaritmus

A bináris logaritmus a 2 -es alapú logaritmus, vagyis egy szám bináris logaritmusa az egyenlet megoldása. $b$ $2^{x}=b.$

Egy valós szám bináris logaritmusa akkor létezik, ha az ISO 31-11 szerint [1] vagy . Példák: $b$ $b>0.$ $\operatorname {lb} b,$ $\operatorname {lb} (b)$ $\log _{2}b$

\operátornév{lb} 1=0;\, \operátornév{lb} 2=1;\, \operátornév{lb} 16=4

\operátornév{lb} 0{,}5=-1;\, \operátornév{lb} \frac{1}{256}=-8

Történelem

Történelmileg a bináris logaritmusokat először a zeneelméletben alkalmazták , amikor Leonhard Euler megállapította, hogy két zenei hang frekvenciájának arányának bináris logaritmusa megegyezik az egyik hangot a másiktól elválasztó oktávok számával . Euler egy táblázatot is közzétett az 1-től 8-ig terjedő egész számok bináris logaritmusairól hét tizedesjegyig [2] [3] .

A számítástechnika megjelenésével világossá vált, hogy bináris logaritmusokra van szükség az üzenet kódolásához szükséges bitek számának meghatározásához . A bináris logaritmust gyakran használó egyéb területek közé tartozik a kombinatorika , a bioinformatika , a kriptográfia , a sportversenyek és a fényképezés . A bináris logaritmus kiszámításához számos általános programozási rendszer rendelkezik szabványos funkcióval.

Algebrai tulajdonságok

A következő táblázat feltételezi, hogy minden érték pozitív [4] :

	Képlet	Példa
Munka	$\operátornév {lb} (xy)=\operátornév {lb} (x)+\operátornév {lb} (y)$	$\operátornév {lb} (256)=\operátornév {lb} (16\cdot 16)=\operátornév {lb} (16)+\operátornév {lb} (16)=4+4=8$
Az osztás hányadosa	$\operátornév {lb} \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\operátornév {lb} (x)-\operátornév {lb} (y)$	$\operátornév{lb} \left(\frac{1}{32}\right) = \operátornév{lb} (1) - \operátornév{lb} (32) = 0 - 5 = -5$
Fokozat	$\operátornév {lb} (x^{p})=p\operátornév {lb} (x)$	$\operátornév {lb} (1024)=\operátornév {lb} (2^{10})=10\operátornév {lb} (2)=10$
Gyökér	$\operatorname {lb} {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\operatorname {lb} (x)}{p}}$	$\operátornév{lb} \sqrt{8} = \frac{1}{2}\operátornév{lb} 8 = \frac{3}{2} = 1{,}5$

A fenti képletek nyilvánvaló általánosítása arra az esetre, amikor a negatív változók megengedettek, például:

\operátornév{lb} |xy| = \operátornév{lb} (|x|) + \operátornév{lb} (|y|),

\operátornév{lb} \!\left|\frac xy \right| = \operátornév{lb} (|x|) - \operátornév{lb} (|y|),

A szorzat logaritmusának képlete könnyen általánosítható tetszőleges számú tényezőre:

\operátornév{lb}(x_1 x_2 \pontok x_n) = \operátornév{lb} (x_1) + \operátornév{lb} (x_2) + \pontok + \operátornév{lb} (x_n)

A bináris, természetes és decimális logaritmusok kapcsolata:

\operátornév{lb} x \kb. 1{,}442695 \ln x

\operátornév{lb} x \kb. 3{,}321928 \lg x

A bináris logaritmus függvény

Ha a logaritmikus számot tekintjük változónak, akkor a bináris logaritmusfüggvényt kapjuk: . Minden értéktartományhoz meg van határozva: . Ennek a függvénynek a grafikonját gyakran nevezik logaritmusnak , ez a függvény inverze . A függvény monoton növekvő, folyamatos és differenciálható , bárhol is van meghatározva. Ennek deriváltját az [5] képlet adja meg : $y=\operátornév {lb} x$ $x>0,$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y=2^{x}$

\frac {d} {dx} \operatorname{lb} x = \frac {\operatorname{lb} e} {x}

Az y tengely függőleges aszimptota , mert: $(x=0)$

\lim_{x \to 0+0} \operátornév{lb} x = - \infty

Alkalmazás

Információelmélet

A természetes szám bináris logaritmusa lehetővé teszi, hogy meghatározza a számjegyek számát a szám belső számítógépes ( bit ) reprezentációjában: $N$ $b(N)$

b(N) = \lfloor \operatorname{lb} N \rfloor + 1

(a zárójelek a szám egész részét jelölik )

Az információs entrópia az információ mennyiségének mértéke , amely szintén a bináris logaritmuson alapul

Rekurzív algoritmusok összetettsége

Rekurzív oszd és uralkodj algoritmusok aszimptotikus összetettségének becslése [6] , mint például a gyorsrendezés , a gyors Fourier-transzformáció , a bináris keresés stb.

Kombinatorika

Ha egy bináris fa csomópontokat tartalmaz , akkor a magassága nem kisebb, mint (az egyenlőség akkor érhető el, ha 2 hatványa) [7] . Ennek megfelelően egy mellékfolyókkal rendelkező folyórendszer Strahler-Filosofov száma nem haladja meg a [8] -ot . $n$ $\log _{2}n$ $n$ $n$ $\log _{2}n+1$

A csúcsokkal rendelkező részkocka izometrikus mérete nem kisebb, mint a kocka éleinek száma, legfeljebb az egyenlőség teljesül, ha a részkocka hiperkocka gráf [9] . $n$ $\log _{2}n.$ ${\frac {1}{2}}n\log _{2}n,$

Ramsey tétele szerint egy irányítatlan csúcsgráf vagy egy klikket tartalmaz , vagy egy független halmazt, amelynek mérete logaritmikusan függ a halmaz pontos mérete nem ismert, de jelenleg a legjobb becslések bináris logaritmusokat tartalmaznak. $n$ $n.$

Egyéb felhasználások

A játék fordulóinak száma az olimpiai rendszer szerint megegyezik a versenyben résztvevők számának bináris logaritmusával [10] .

A zeneelméletben annak a kérdésnek a megoldásához, hogy hány részre kell osztani egy oktávot , racionális közelítést kell találni a Ha ezt a számot kibővítjük egy folytonos törtté , akkor a harmadik konvergens tört (7/12) lehetővé teszi, hogy hogy igazolja az oktáv klasszikus felosztását 12 félhangra [11] . $\log_2 \frac {3}{2} \kb. 0{,}585.$

Jegyzetek

↑ Néha, különösen a német kiadásokban, a bináris logaritmust jelölik (a latin logarithmus dyadis szóból ), lásd Bauer, Friedrich L. Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum (English) . - Springer Science & Business Media , 2009. - P. 54. - ISBN 978-3-642-02991-2 . $\operatorname {ld} b$
↑ Euler, Leonhard (1739), VII. fejezet. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus , Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae , Szentpétervári Akadémia, p. 102-112 , < http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html > Archiválva : 2018. október 11. a Wayback Machine -nél .
↑ Tegg, Thomas (1829), Bináris logaritmusok , Londoni enciklopédia; vagy: Tudomány, művészet, irodalom és gyakorlati mechanika egyetemes szótára: a tudás jelenlegi állapotának népszerű nézetét tartalmazza, 4. kötet , p. 142–143 , < https://books.google.com/books?id=E-ZTAAAAYAAJ&pg=PA142 > Archiválva : 2021. május 23. a Wayback Machine -nél .
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , p. 187..
↑ Logaritmikus függvény. // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3.
↑ Harel, David; Feldman, Yishai A. Algorithmics: the Spirit of Computing . - New York: Addison-Wesley, 2004. - 143. o . - ISBN 978-0-321-11784-7 .
↑ Leiss, Ernst L. (2006), A programozó társa az algoritmuselemzéshez , CRC Press, p. 28, ISBN 978-1-4200-1170-8 , < https://books.google.com/books?id=E6BNGFQ6m_IC&pg=RA2-PA28 > Archiválva 2020. augusztus 12-én a Wayback Machine -nél
↑ Devroye, L. & Kruszewski, P. (1996), A Horton-Strahler számról véletlenszerű próbálkozásokhoz , RAIRO Informatique Théorique et Applications 30. kötet (5): 443-456, doi : 10.1051 /ita/ 1996300504 ://eudml.org/doc/92635 > Archiválva : 2015. október 7. a Wayback Machine -nél .
↑ Eppstein, David (2005), The lattice dimension of a graph , European Journal of Combinatorics 26. kötet (5): 585–592 , DOI 10.1016/j.ejc.2004.05.001.
↑ Kharin A. A. Versenyek szervezése és lebonyolítása. Módszertani útmutató . - Izhevsk: UdGU, 2011. - S. 27.
↑ Shilov G. E. Egyszerű gamma. Zene mérleg. Levéltári példány 2014. február 22-én a Wayback Machine M.-nél: Fizmatgiz, 1963. 20 p. "Népszerű matematikai előadások" sorozat, 37. szám.

Irodalom

Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve . - szerk. 25. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Korn G., Korn T. Matematika kézikönyve (kutatóknak és mérnököknek) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - szerk. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

Linkek

1-től 100-ig terjedő egész számok bináris logaritmusának táblázata. Archiválva : 2019. augusztus 12., a Wayback Machine -en