Sima funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. április 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A sima függvény vagy egy folyamatosan differenciálható függvény olyan függvény , amelynek folytonos deriváltja van a teljes definíciókészleten. Nagyon gyakran a sima függvények olyan függvényeket jelentenek, amelyeknek minden sorrendjének folyamatos deriváltjai vannak.

Alapvető információk

A magasabb rendű sima függvényeket is figyelembe vesszük, nevezetesen egy simaságrendű függvénynek minden rendjének folytonos deriváltja van egészen bezárólag (nullarendű derivált maga a függvény). Az ilyen függvényeket - smooth - nak nevezzük . A tartományban meghatározott -smooth függvények halmazát jelöli . A jelölés azt jelenti, hogy bármelyik esetén az ilyen függvényeket végtelenül simanak nevezzük ( néha a sima függvények alatt pontosan végtelenül sima). Néha a vagy jelölést is használják , ami azt jelenti, hogy analitikus . $r\geqslant 0$ $r$ $r$ $r$ $\Omega$ $C^{r}(\Omega)$ $f\in C^{\infty }(\Omega )$ $f\in C^{r}(\Omega )$ $r$ $f\in C^{\omega }(\Omega )$ $f\in C^{a}(\Omega )$ $f$

Például azon függvények halmaza , amelyek folyamatos bekapcsolt állapotban vannak, és azon függvények halmaza, amelyek folyamatosan differenciálhatók -on , vagyis olyan függvények, amelyeknek ennek a tartománynak minden pontjában folytonos deriváltjuk van. $C^{0}(\Omega)$ $\Omega$ $C^{1}(\Omega )$ $\Omega$

Ha a simasági sorrend nincs megadva, akkor általában azt feltételezik, hogy elegendő értelmessé tenni az aktuális argumentáció során a függvényen végrehajtott összes műveletet.

Közelítés analitikai függvényekkel

Legyen egy régió és , . _ Legyen kompakt részhalmazok sorozata úgy, hogy , és . Hagy egy tetszőleges sorozat pozitív egész számok és . Végül legyen pozitív számok tetszőleges sorozata. Ekkor létezik egy valós-analitikus függvény , amely úgy van definiálva , hogy bármelyikre az egyenlőtlenség $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f\in C^{k}(\Omega )$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $\{K_{p}\}$ $\Omega$ $K_{0}=\varnothing$ $K_{p}\subset K_{{p+1}}$ $\bigcup K_{p}=\Omega$ $\{n_{p}\}$ $m_{p}=\min(k,\;n_{p})$ $\{\varepsilon _{p}\}$ $g$ $\Omega$ $p\geqslant 0$

\|fg\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},

ahol jelöli a nullától az inkluzívig tartó függvény deriváltjainak normáinak maximumát (az egyenletes konvergencia értelmében , azaz a halmaz maximális modulusát ). $\|fg\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p))))}$ ${K_{p+1}\backslash K_{p}}$ $fg$ ${m_{p))$

Törtsimaság

A differenciálható függvények osztályainak finom elemzéséhez bevezetjük a pontban a tört simaság fogalmát vagy a Hölder-kitevőt is , amely általánosítja a fenti simasági fogalmakat. A függvény az osztályba tartozik , ahol egy nemnegatív egész szám, és ha vannak deriváltjai a sorrendet bezárólag, és Hölder kitevővel . $f$ $C^{{r,\;\alpha }}$ $r$ $0<\alpha \leqslant 1$ $r$ $f^{{(r)}}$ $\alpha$

A lefordított irodalomban a "Hölder-kitevő" kifejezés mellett a "Lipschitz-kitevő" kifejezést is használják.

Sima funkció

Alapvető információk

Közelítés analitikai függvényekkel

Törtsimaság

Lásd még