Hiperfunkció (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. március 8-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Hiperfunkció (matematika) - az általánosított függvény fogalmának fejlesztése . Egy változó hiperfüggvénye a komplex sík felső és alsó félsíkjában meghatározott két holomorf függvény valós tengelyén lévő határértékek különbsége . Több változó hiperfüggvényét úgy definiáljuk, mint valamely kohemológiai csoport elemeit, amelyek együtthatók a holomorf függvények kötegében [1] . A hiperfunkciókat Mikio Sato fedezte fel 1958-ban [2] [3] .

Egy változó hiperfunkciója

Egy változó hiperfüggvényének tekinthető a felső komplex félsíkon definiált holomorf függvény és az alsó komplex félsíkon definiált holomorf függvény valós tengelyen való különbsége - [1] . Egy változó hiperfüggvényét csak két függvény különbsége határozza meg a valós tengelyen, és nem változik, ha hozzáadjuk ugyanazt a függvényt , holomorf a teljes komplex síkon , így a és a hiperfüggvények ekvivalensként vannak meghatározva. $f$ $g$ ${\megjelenítési stílus (f,g)}$ $fg$ $f$ $g$ $h$ ${\megjelenítési stílus (f,g)}$ ${\megjelenítési stílus (f+h,g+h)}$

Sok változó hiperfunkciója

Legyen egy presheaf -ben , a következőképpen definiálva [4] : ha nincs korlátos, akkor ; ha korlátozott, akkor ; A megszorítások a következők: , ha nem korlátozott , ha korlátozott. A hiperfunkciós köteg egy előkötélhez társított köteg . $B'$ ${\displaystyle R^{n))$ $\Omega$ $B'(\Omega )=\left\{0\right\}$ $\Omega$ $B'(\Omega )=B(\Omega )$ $B'(\Omega )\rightarrow B'(\omega )$ $0\rightarrow 0$ $\Omega$ $T\rightarrow T|\omega$ $\Omega$ ${\displaystyle R^{n))$ $B$ $B'$

A hiperfunkció bekapcsolását a következők határozzák meg: burkolat, ahol nyitott és korlátozott; és olyan elemek , amelyekhez . $\Omega$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i\in I}\Omega _{i))$ ${\displaystyle \Omega _{i))$ $T_{i}\in B(\Omega _{i})$ ${\displaystyle T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j}=T_{j}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j))$

Két ilyen halmaz és ugyanazt a hiperfunkciót határozzuk meg, ha $(\Omega _{i},T_{i}),i\in I$ $(\Omega _{i'},T_{i'}),i'\in I'$ $T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'}=T_{i'}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'},\forall i\ én,én'\énben'$

Példák

Bármely f függvénynél, amely a teljes komplex síkon holomorf, a hiperfüggvény a valós tengelyen lévő értékei, amelyeket vagy mintákkal ábrázolhatunk . $(f,0)$ $(0,-f)$
A Heaviside függvény hiperfunkcióként ábrázolható:

H(x)=\left({\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z),{\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z)-1 \jobb).

A Dirac delta függvény hiperfüggvényként ábrázolható:

\left({\tfrac {1}{2\pi iz)),{\tfrac {1}{2\pi iz}}\jobbra).

Műveletek hiperfüggvényeken

Szorzás analitikus függvénnyel . Legyen analitikus függvény, legyen analitikus függvény . Ezután a szorzatot a képlet határozza meg . $f\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$ $u\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ $fu\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ $\langle fu,g\rangle =\langle u,fg\rangle ,\forall g\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$

A hiperfunkciót az [5] sorozat határozza meg $fT$ $f{\overline {T_{n}}}|\Omega _{n}$

Konvolúció. Legyen holomorf függvény , legyen topológiájú holomorf függvény. Ekkor a konvolúciót a képlet határozza meg . A hiperfunkciót a [6] sorozat határozza meg $u\in H'(C^{n})$ $f\in H(C^{n})$ $u*f\in H(C^{n})$ $(u*f)(z)=\langle u_{\xi },f(z-\xi )\rangle$ $u*T$ ${\displaystyle (u*T_{n})|\Omega _{np))$

Lásd még

Általánosított funkció

Jegyzetek

↑ 1 2 Shapira, 1972 , p. 5.
↑ Sato, Mikio (1959), Theory of Hyperfunctions, I, Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Szekta. 1, Matematika, csillagászat, fizika, kémia, 8. kötet (1): 139–193
↑ Sato, Mikio (1960), Theory of Hyperfunctions, II, Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Szekta. 1, Matematika, csillagászat, fizika, kémia 8. kötet (2): 387–437
↑ Shapira, 1972 , p. 61.
↑ Shapira, 1972 , p. 65.
↑ Shapira, 1972 , p. 66.

Irodalom

Hormander L. Lineáris differenciáloperátorok parciális deriváltokkal. - M . : Mir, 1965. - 379 p.
Shapira P. A hiperfunkciók elmélete. — M .: Mir, 1972. — 141 p.
Hormander L. Lineáris differenciáloperátorok elemzése parciális deriváltokkal. I. kötet. Eloszláselmélet és Fourier-analízis. — M .: Mir, 1986. — 462 p.