Cypert hiperbolája

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. február 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Kiepert -hiperbola egy adott háromszög által meghatározott hiperbola . Ha ez utóbbi egy általános helyzetben lévő háromszög, akkor ez a hiperbola az egyetlen kúpszelvény, amely átmegy a csúcsain, az ortocentrumon és a súlyponton .

Definíció izogonális konjugáción keresztül

A Kiepert-hiperbola egy olyan görbe, amely izogonálisan konjugált egy egyeneshez, amely átmegy a Lemoine-ponton és egy adott háromszög körülírt körének középpontján.

A körülírt kör középpontján és a Lemoine-ponton áthaladó egyenest Brocard tengelyének nevezzük . Apollonius-pontok hevernek rajta . Más szavakkal, a Kiepert-hiperbola egy adott háromszög Brocard tengelyéhez izogonálisan konjugált görbe .

Definíció háromszögben trilineáris koordinátákban

Definíció háromszögben trilineáris koordinátákkal [1] :

Ha három háromszög , amelyek a háromszög oldalaira épülnek , hasonlóak , egyenlő szárúak , és az eredeti háromszög oldalain vannak alapok, és azonosan helyezkednek el (vagyis mind kívülről vagy belülről épültek), akkor a vonalak , és egy pontban metszik egymást .

XBC

YCA

ZAB

ABC

AX

BY

CZ

N

Ekkor a Kiepert-hiperbola a pontok helyeként definiálható (lásd az ábrát).

N

Ha a közös szög az alapnál , akkor a három háromszög csúcsai a következő trilineáris koordinátákkal rendelkeznek: $\theta$

$X(-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta )$

A Kiepert hiperbolán fekvő tetszőleges N pont háromvonalas koordinátái

(\operátornév {cosec} (A+\theta ):\operátornév {cosec} (B+\theta ):\operátornév {cosec} (C+\theta ))

A Kiepert-hiperbola-egyenlet trilineáris koordinátákban

A pontok helye, amikor a szög megváltozik a és közötti háromszögek alapjában, Kiepert hiperbola az egyenlettel $N$ $\theta$ $-\pi /2$ $\pi/2$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0

ahol , , a háromszög egy pontjának trilineáris koordinátái . $x$ $y$ $z$ $N$

Ismert pontok a Kiepert hiperbolán

A Kiepert hiperbolán fekvő pontok között vannak a háromszög fontos pontjai [2] :

Jelentése $\theta$	Pont $N$
$0$	$G$ , háromszög súlypont (X2) $ABC$
$\pi/2$ (vagy ) $-\pi /2$	$O$ , háromszög ortocenter (X4) $ABC$
$\operátornév {arctg} [\operátornév {tg} (A/2)\operátornév {tg} (B/2)\operátornév {tg} (C/2)]$ [3]	Spieker Center (X10)
$\pi /4$	Vecten pontok (X485)
$-\pi /4$	Vecten pontok (X486)
$\pi /6$	$N_1$ , Napóleon első pontja (X17)
$-\pi /6$	$N_2$ , második Napóleon-pont (X18)
$\pi /3$	$F_{1}$ , első Fermat-pont (X13)
$-\pi /3$	$F_{2}$ , második Fermat-pont (X14)
$-A$ (ha ) (ha ) $A<\pi /2$ $\pi -A$ $A>\pi /2$	Csúcs $A$
$-B$ (ha ) (ha ) $B<\pi /2$ $\pi -B$ $B>\pi /2$	Csúcs $B$
$-C$ (ha ) (ha ) $C<\pi /2$ $\pi -C$ $C>\pi /2$	Csúcs $C$

A Kiepert hiperbolán fekvő pontok listája

A Kiepert-hiperbola az X(i) [3] háromszög következő középpontjain halad át :

ha i=2, ( háromszög súlypont ),
i=4 ( Orthocenter ),
i=10 ( Spieker középpontja ; azaz egy olyan háromszög középpontja, amelynek csúcsai az adott ABC háromszög oldalainak felezőpontjaiban vannak [1] ),
i=13 (első Fermat-pont ), i=14 (második Fermat-pont ),
i=17 ( első Napóleon-pont ), i=18 ( második Napóleon-pont ),
i=76 (harmadik Brocard-pont ),
i=83 (a pont izogonálisan konjugált a Brocard-pontok felezőpontjához [1] ),
i=94, 96,
i=98 ( Tarry pont = Tarry pont),
i=226, 262, 275, 321,
i=485 ( Vecten külső pontja ), i=486 ( Vecten belső pontja ),
i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
i=1139 (belső ötszög pont), i=1140 (külső ötszög pont),
i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
i = 2671 (első arany arbelosz pont = első arany arbelosz pont),
i = 2672 (második arany arbelosz pont = második arany arbelosz pont),
i=2986, 2996

A Leicester-tétel általánosítása B. Gibert-tétel formájában (2000)

B. Gibert tétele (2000) általánosítja Leicester körtételét , nevezetesen: minden olyan kör, amelynek átmérője egy háromszög Kiepert-hiperbolájának húrja, és merőleges az Euler-egyenesre, áthalad Fermat-pontokon [4] [5] .

Történelem

Ezt a hiperbolát Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert német matematikusról nevezték el , aki felfedezte (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846-1934) [1] .

Tulajdonságok

A Kiepert-hiperbola egyenlő oldalú vagy egyenlő oldalú (azaz aszimptotái merőlegesek), ezért a középpontja, amelyet a Triangle Centers Encyclopedia of Triangle Centers X-ként (115) jelez, az Euler-körön fekszik .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994 , p. 188-205.
↑ Akopjan A. V. , Zaslavsky A. A. . Másodrendű görbék geometriai tulajdonságai. - 2. kiadás, Kiegészítő - 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ B. Gibert (2000): [1270. üzenet] . Belépés a Hyacinthos online fórumba, 2000-08-22. Hozzáférés ideje: 2014-10-09.
↑ Paul Yiu (2010), Lester, Evans, Parry körei és általánosításaik Archiválva : 2021. október 7. a Wayback Machine -nél . Forum Geometricorum, 10. kötet, 175-209. MR : 2868943

Irodalom

Eddy R. H., Fritsch R. . Ludwig Kiepert kúpjai: Átfogó lecke a háromszög geometriájából // Math Magazine , 1994, 67 . - P. 188-205.