Gömb verzió

A gömb kifordítása egy gömb külső és belső felületének háromdimenziós térben történő megváltoztatásának folyamata a differenciális topológia körülményei között . A felületek önmetszéspontja megengedett, de minden pillanatban nincs megszakadása, és megőrzi simaságát . Más szóval, a gömb képének az alakváltozás minden pillanatában differenciálhatónak kell maradnia .

A gömb megfordításának lehetőségét először Stephen Smale amerikai matematikus fedezte fel . Egy ilyen transzformációra meglehetősen nehéz konkrét példát bemutatni, ezért ezt az eredményt Smale paradoxonnak nevezzük [1] . Az egyértelműség kedvéért számos vizualizációt készítettek.

Megfogalmazás

Legyen egy gömb szabványos beágyazása háromdimenziós térbe. Ekkor létezik a sima merítések folytonos egyparaméteres családja , úgy, hogy és . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3))$ $f_{t}\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\ \ t\in [0,1]$ $f_0=f$ $f_{1}=-f$

Történelem

A gömb megfordításának lehetőségét először Stephen Smale amerikai matematikus fedezte fel 1957 -ben . Raul Bott , Smale szakdolgozati tanácsadója először azt nyilatkozta, hogy az eredmény látszólag téves. Ezt azzal magyarázta, hogy egy ilyen transzformációnak meg kell őriznie a Gauss-leképezés mértékét . Például egy síkon belüli körre nincs ilyen transzformáció. Egy háromdimenziós tér esetében azonban az y és y to Gauss-leképezések foka egyaránt egyenlő 1-gyel, és nincs ellentétes előjelük, ellentétben egy hibás feltételezéssel. A Gauss-leképezés mértéke minden belemerülésre 1 , tehát nincsenek akadályok. $f$ $-f$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$ $\mathbb {R} ^{3}$

Változatok és általánosítások

A gömb kifordítása a -sima izometrikus bemerülések osztályában is elvégezhető. [2] $C^1$
Egy hatdimenziós gömb , amely egy hétdimenziós euklideszi térbe van beágyazva , szintén lehetővé teszi a belülről kifelé mutatót. Egy egyenesen lévő nulla dimenziós gömb (két pont) és egy c kétdimenziós gömb mellett ezek az egyetlen lehetséges esetek, amikor a beágyazott gömb kifordítható. $S^{6}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7))$ $S^{0}$ $\mathbb {R}$ $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$
- Sőt, érvényes a Smale-Kaiser-tétel : a gömbök bármely két bemerülése szabályosan akkor és csak akkor homotopikus . Az összes többi esetében a különböző orientációjú beágyazott gömbök nem rendszeresen homotopikusak. [3] $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $n=0,2,6$ $n$
A H-elv az ilyen problémák általános megoldása.

Jegyzetek

↑ E. A. Kudrjavceva,. „Sima függvények megvalósítása felületeken magasságfüggvényként” . Mat. Sat., 190:3 (1999), 32. old . www.mathnet.ru Letöltve: 2017. február 23. Az eredetiből archiválva : 2017. február 24.. (határozatlan)
↑ Gromov, M. Differenciális relációk parciális deriváltokban.
↑ J. Malesic, P.E. Pushkar, D. Repovsh. "Belül-Kül gömbök" . Letöltve: 2020. december 3. Az eredetiből archiválva : 2020. november 25. (határozatlan)

Irodalom

Smale, Stephen A kétgömb bemerüléseinek osztályozása. Trans. amer. Math. szoc. 90 1958 281-290.
Francis, J. Topológia képeskönyv, hogyan rajzoljunk matematikai képeket. Moszkva: Mir, 1991. 6. fejezet: A gömb kifordítása.
Szkopenkov A.B. Algebrai topológia geometriai szempontból. - 2. kiadás, add. - M: MTsNMO, 2020. - 304 p.

Linkek

Egy gömb változatának megjelenítése William Thurston módszerével (orosz felirattal).
Ricky Reusser, Gömbábrázolás verziója, szabályos felületek családján alapul