H-elv

A H-elv (értsd : hamu-elv ) a parciális differenciálegyenletek és általánosabban a parciális differenciálviszonyok megoldásának általános módja . A H-elv jó az aluldefiniált rendszerekben, például azokban, amelyek merülési problémákban , izometrikus bemerülésben és másokban jelennek meg.

Az elmélet Eliashberg , Gromov és Phillips munkáiban öltött testet.

Az alapot a korábbi eredmények adták, amelyekben a differenciálviszonyok megoldását homotópiára redukálták, különösen az immerziós feladatokban.

A h-elv első gondolatai a Whitney-Grausstein-tételben , a gömbeverziós paradoxonban , a Nash-Kuiper- tételben és a Smale-Hirsch-tételben jelentek meg .

Hozzávetőleges bemutatás

Tegyük fel, hogy olyan függvényt akarunk találni , amely kielégíti a koordinátákban megadott parciális differenciálegyenletet . Ez az egyenlet így írható fel $f$ $\mathbb {R} ^{m}$ $k$ $(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})$

\Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},J_{f}^{k})=0,

ahol az összes parciális származékot jelenti a hatványig . Az egyes változók helyett egy független változót helyettesítünk, eredeti egyenletünk rendszernek tekinthető ${\displaystyle J_{f}^{k))$ $f$ $k$ ${\displaystyle J_{f}^{k))$ $y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}.$

\Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0

és számos következő típusú egyenlet

y_{j}={\partial ^{k}f \over \partial u_{i_{1}}\ldots \partial u_{i_{k}}}.

Egyenlet megoldás

\Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0

formális vagy nem holonom megoldásnak nevezzük , a rendszer megoldását (ami az eredeti egyenletünk megoldása) holonom megoldásnak nevezzük .

Ahhoz, hogy holonom megoldás létezzen, léteznie kell egy nem holonom megoldásnak. Általában ez utóbbi meglehetősen könnyen ellenőrizhető, ha pedig nem, akkor az eredeti egyenletünknek nincs megoldása.

Egy PDE akkor felel meg a h-elvnek , ha bármely nem holonom oldat holonommá alakítható a nem holonom megoldások osztályában. Így ha a h-elv teljesül, a differenciál-topológiai probléma algebrai és topológiai problémává redukálódik. Pontosabban ez azt jelenti, hogy a topológiai megoldásokon kívül a holonomikus megoldások létezésének nincs egyéb akadálya. A nemholonom megoldás megtalálásának topológiai problémája általában sokkal egyszerűbb.

Sok aluldefiniált parciális differenciálegyenlet kielégíti a h-elvet.

A h-elv nem teljesülése egy bizonyos egyenletre szintén érdekes állítás, intuitívan ez azt jelenti, hogy a vizsgált objektumok nem triviális geometriájúak, ami nem redukálható topológiára. Példa erre a Lagrange-beágyazás egy szimplektikus sokaságban ; nem elégítik ki a h-elvet, ennek bizonyítására pszeudo-holomorf görbék alapján invariánsokat használnak.

A legegyszerűbb példa

Tekintsünk egy repülőgépen mozgó autót. Az autó helyzetét a síkban három paraméter határozza meg: két koordináta és (például ezek a koordináták határozzák meg a középpont helyzetét a hátsó kerekek között) és egy szög , amely leírja az autó tájolását. Mozgás közben az autó teljesíti az egyenletet $x$ $y$ $\alpha$

{\pont {x}}\sin \alpha ={\pont {y}}\cos \alpha ,

feltételezve, hogy a jármű csúszás nélkül mozog.

A nem holonómikus megoldás ebben az esetben az autó síkbeli csúszás miatti mozgásának felel meg. Ebben az esetben a nem holonikus megoldások nem csak homotopikusak a holonomikus megoldásokkal szemben, hanem tetszőlegesen jól közelítik a holonomikus megoldásokat is (ezt előre-hátra mozgással érhetjük el, mint a korlátozott helyen történő párhuzamos parkolásnál) - vegye figyelembe, hogy a ebben az esetben mind az autó helyzete, mind iránya tetszőlegesen közel van. Ez utóbbi tulajdonság erősebb, mint az általános h-elv; sűrű h- elvnek nevezzük . $C^{0}$

Alkalmazások

Íme néhány ellentétes eredmény , amelyet a h-elv alkalmazásával lehet bizonyítani:

A kúp megfordítása . [1] Tekintsünk egy f függvényt R 2 -n origó nélkül . Ekkor létezik egy folytonos, egyparaméteres függvénycsalád úgy, hogy , , és bármelyik esetén a gradiens bármely pontban nem nulla. $f(x)=|x|$ $f_t$ $f_0=f$ $f_{1}=-f$ $t$ $f_t$

Bármely nyitott elosztó elfogadja a pozitív (vagy negatív) görbület (nem teljes) Riemann-metrikáját.

A gömb ráncosodás vagy szakadás nélküli kifordítása csak izometrikus gömbcsatlakozásokkal végezhető el . $C^1$

Nash tétele a szabályos beágyazásokról .

Jegyzetek

↑ 27. előadás Tabachnikov S.L. Fuchs D.B. Matematikai divertisment . - MTSNMO, 2011. - 512 p. - 2000 példány. - ISBN 978-5-94057-731-7 . Archiválva : 2016. április 2. a Wayback Machine -nél

Irodalom

Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Bevezetés a h -elvbe . - M .: Moszkvai Matematikai Folyamatos Oktatási Központ, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .
Gromov M. Differenciálrelációk parciális deriváltokkal. - M . : Mir. - ISBN 5-03-001297-4 .
N. H. Kuiper, A C 1 -izometrikus beágyazásokról // Matematika 1957, 1. kötet, 2. szám, 17–28.
J. Nash, C 1 -izometrikus beágyazások // Matematika 1957, 1. kötet, 2. szám, 3–16.
M.W. Hirsch, Merülések a sokféleségből. Trans. amer. Math. szoc. 93 (1959)
S. Smale, A gömbök bemerüléseinek osztályozása euklideszi terekben. Ann. of Math(2) 69 (1959)
David Spring, Konvex integrációs elmélet – megoldások a h-elvre a geometriában és a topológiában, Monographs in Mathematics 92, Birkhauser-Verlag, 1998