A bázisfüggvény olyan függvény , amely a bázis eleme a függvénytérben .
Alkalmazható a variációszámításban [B: 1] , a jelanalízisben [B: 2] és a funkcionális elemzés egyéb alkalmazásaiban.
A korai munkák a koordinátafüggvény kifejezést használták szinonimájaként . [1] Egy bázisfüggvényt bázisvektornak is nevezhetünk, ha a bázis lineáris térben van definiálva . [B:3]
A bázisfüggvények halmazainak megvan az a tulajdonsága, hogy egy adott függvénytér összes függvénye (bizonyos korlátozások mellett) megjeleníthető lineáris kombinációjukként . [B:2] [a 1]
Az ortogonális függvényterekben az eredeti függvény a kiterjesztési együtthatóinak halmazával (vektorával) ábrázolható. Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy az időigényes számításokat egyszerűbb algebrai műveletekkel helyettesítse közvetlenül a függvénytérben. [B:2] [a 1]
Egy argumentum bármely analitikus függvénye kibővíthető különböző együtthatójú hatványfüggvények összegévé, azaz egy Taylor-sorozattá .
Ha bázisfüggvényként harmonikus függvényeket választunk , akkor ezekre vonatkozó bővítés a Fourier-transzformáció .
Ortogonális alapként gyakran kényelmesnek bizonyul a matematikai fizikában széles körben használt függvények kiválasztása, mint például a klasszikus ortogonális polinomok ( Jacobi , Laguerre és Hermite polinomok ), hipergeometrikus és degenerált hipergeometrikus függvények . [2]