Aszimptotikus elemzés

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Az aszimptotikus elemzés a függvények korlátozó viselkedésének leírására szolgáló módszer .

Például egy függvényben , ahogy közeledik a végtelenhez, a kifejezés elhanyagolhatóvá válik a függvényhez képest , így a függvényt „aszimptotikusan ekvivalensnek” mondjuk , amit gyakran úgy is írnak, hogy . Példa egy fontos aszimptotikus eredményre a prímszámtétel . A Legyen a prímek eloszlásfüggvényét jelöli , azaz egyenlő azoknak a prímeknek a számával , amelyek kisebbek vagy egyenlők vele , akkor a tétel így fogalmazható meg . $f(n)=n^{2}+3n$ $n$ $3n$ $n^{2}$ $f(n)$ $n^{2}$ $n\to\infty$ ${\displaystyle f(n)\sim n^{2))$ $\pi(x)$ $\pi(x)$ $x$ $\pi (x)\sim {\frac {x}{\log x))$

Aszimptotikus egyenlőség

Legyen és legyen néhány függvény. Ekkor a bináris relációt úgy határozzuk meg, hogy $f(x)$ $g(x)$ $\sim$

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{for }}x\to \infty )

akkor és csak akkor [1]

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)))=1.

A és függvényeket aszimptotikusan ekvivalensnek is nevezik , mivel ez egy ekvivalencia reláció a feletti függvényekre . A és a tartomány bármely halmaz lehet, amelyben a határ fogalmának értelme van: valós számok , komplex számok , természetes számok stb. Ugyanezt a jelölést használják a -ra vonatkozó egyéb határkorlátozásokhoz is , mint pl . Egy konkrét határértéket általában nem jeleznek, ha a szövegkörnyezetből egyértelműen kiderül. $f$ $g$ $\sim$ $x$ $f$ $g$ $x$ $x\to 0$

A fenti definíció elterjedt a szakirodalomban, de értelmét veszti, ha végtelenül sokszor felveszi . Ezért néhány szerző alternatív definíciót használ az O-jelölés tekintetében : $g(x)$ $0$

f(x)-g(x)\in o(g(x)).

Ez a definíció akkor ekvivalens a fent megadottal, ha a határpont valamely szomszédságában eltér nullától [2] [3] . $g(x)$

Tulajdonságok

Ha és , akkor bizonyos természetes korlátozások mellett a következő igaz: $f\sim g$ $a\sim b$

${\displaystyle f^{r}\sim g^{r))$ , minden igazi $r$
$\log(f)\sim \log(g)$
$f\times a\sim g\times b$
$f/a\sim g/b$

Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy egyes algebrai kifejezésekben aszimptotikusan ekvivalens függvényeket szabadon cseréljünk egymással.

Példák aszimptotikus képletekre

Stirling - képlet faktoriálisokhoz

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

A természetes számok természetes számok rendezetlen összegére való felosztásának módjainak száma $n$

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3))))e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3))))

Airy függvény - differenciálegyenlet megoldása $Ai(x)$ $y''-xy=0$

{\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4))))

Hankel funkciók

{\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z))}e^{i\left(z -{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2} {\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{igazított}}

Aszimptotikus expanzió

Egy függvény aszimptotikus kiterjesztése egy függvény kifejezése sorozat formájában, amelynek részösszegei nem konvergálnak , de bármely részösszeg megadja a helyes aszimptotikus becslést . Így az aszimptotikus expanzió minden következő eleme valamivel pontosabb leírást ad a növekedési sorrendről . Más szóval, ha aszimptotikus kiterjesztése , akkor általános esetben bármely . A definíció szerint ez azt jelenti, hogy aszimptotikusan sokkal lassabban növekszik $f(x)$ $f$ $f$ $f=g_{1}+g_{2}+g_{3}+\pontok$ $f$ $f\sim g_{1},$ ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2))$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k))$ $k$ $\sim$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ $g_{k}.$

Ha az aszimptotikus bővítés nem konvergál, akkor bármely argumentumhoz létezik olyan részösszeg, amely ezen a ponton a legjobban közelíti a függvényt, és a tagok további hozzáadása csak csökkenti a pontosságot. Általában az ilyen optimális összegű tagok száma a határponthoz közeledve növekszik. $x$

Példák aszimptotikus kiterjesztésekre

gamma függvény

{\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x ))+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )

Integrál kitevő

xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n }}}\ (x\to \infty )

Hiba funkció

{\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1 )^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )

ahol ( 2n − 1)!! a kettős faktoriális .

Alkalmazások

Aszimptotikus elemzést alkalmaznak:

Alkalmazott matematikában numerikus módszerek kidolgozása egyenletek megoldására.
A matematikai statisztikában és a valószínűségszámításban a valószínűségi változók korlátozó tulajdonságainak meghatározása és a statisztikai becslések .
A számítástechnikában az algoritmusok és futási idejük elemzésében .
A statisztikus fizikában a fizikai rendszerek viselkedésének elemzésében .
A katasztrófaelemzésben a katasztrófa okainak meghatározásában sok katasztrófa ugyanazon a helyen történő modellezésével.

Az aszimptotikus elemzés kulcsfontosságú eszköz a valós világ jelenségeinek matematikai modellezése során felmerülő differenciálegyenletek tanulmányozására [4] . Az aszimptotikus analízis alkalmazása általában arra irányul, hogy tanulmányozza a modell függését valamely dimenzió nélküli paramétertől , amelyről feltételezzük, hogy a megoldandó probléma skáláján elhanyagolható.

Az aszimptotikus kiterjesztések általában egyes integrálok ( Laplace - módszer, nyeregpont-módszer ) vagy valószínűségi eloszlások ( Edgeworth-sorozat ) közelítő számításai során merülnek fel. A divergens aszimptotikus expanzióra példa a Feynman-gráfok a kvantumtérelméletben .

Lásd még

Jegyzetek

↑ ( de Bruijn 1981 , 1.4.)
↑ Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), Aszimptotikus egyenlőség , Matematikai Encyclopedia , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Estrada és Kanwal (2002 , 1.2.)
↑ Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics Archiválva : 2021. július 22., a Wayback Machine , Cambridge University Press

Irodalom

Fedoryuk M. V. Aszimptotika: Integrálok és sorozatok. — M .: Nauka , 1987. — 544 p. — (Referencia matematikai könyvtár).
Olver, F. Bevezetés az aszimptotikus módszerekbe és speciális függvényekbe. — M .: Nauka , 1978. — 386 p.
Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions , Springer-Verlag , < https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
de Bruijn, NG (1981), Asymptotic Methods in Analysis , Dover Publications , < https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ&printsec=frontcover >
Estrada, R. & Kanwal, RP (2002), A Distributional Approach to Asymptotics , Birkhäuser , < https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Miller, P.D. (2006), Applied Asymptotic Analysis , American Mathematical Society , < https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Murray, JD (1984), Asymptotic Analysis , Springer , < https://books.google.com/books?id=PC3rBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Paris, R. B. & Kaminsky, D. (2001), Asymptotics és Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press és >

Linkek

Asymptotic Analysis – az IOS Press által kiadott folyóirat honlapja
Egy cikk az aszimptotikus eloszlást használó idősorelemzésről