Antikommutativitás

Az antikommutativitás egy multiplikatív bináris művelet tulajdonsága a gyűrűben : . $x^{2}=x\cdot x=0$

Az identitás a definícióból következik , mivel a kifejezés egyenlő: $x\cdot y+y\cdot x=0$ ${\megjelenítési stílus (x+y)\cdot (x+y)}$

{\begin{aligned}0&=x\cdot (x+y)+y\cdot (x+y)=\\&=x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\ cdot y=\\&=x\cdot y+y\cdot x\\\end{igazított}}

Ha a gyűrű nem nulla osztó , akkor maga az azonosság következik, és ekvivalensnek bizonyulnak; de általános esetben ez nem így van (például egy 2. karakterisztikus mező feletti algebrákban az első azonosság erősebb, mint a második). $2=1+1$ $x\cdot x=0$ $x\cdot y+y\cdot x=0$

A koncepció a Lie algebrák kapcsán merült fel , melyben a szorzás kielégíti az azonosságot (valamint ). Az antikommutatív művelet klasszikus példája a vektorszorzat , amelyre (a kommutatív skalárszorzattal ellentétben ). $x\cdot y=-y\cdot x$ $x^{2}=0$ $x\times y=-y\times x$

Néhány antikommutatív algebra : Maltsev-algebrák , külső formák algebrája , differenciálformák származtatási algebra , érintőleges értékű formák algebra .

A fokozatos algebrában végzett szorzást fokozatos antikommutatívnak nevezzük , ha , bármely elemére igaz: $\Omega = \oplus_{i} \Omega^i$ $\omega_m \in \Omega^m$ $\omega_k \in \Omega^k$

\omega _{m}\cdot \omega _{k}+(-1)^{mk+1}\omega _{k}\cdot \omega _{m}=0

Irodalom

Szkornyakov L. A., Shestakov I. P. . fejezet III. Gyűrűk és modulok // Általános algebra / Szerk. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Tudomány , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 p. — (Referencia matematikai könyvtár). — 30.000 példány. — ISBN 5-02-014426-6 .