Peano axiómái

A Peano-axiómák a természetes számokra vonatkozó axiómarendszerek egyike, amelyet Giuseppe Peano olasz matematikus vezetett be 1889-ben .

Peano axiómái lehetővé tették az aritmetika formalizálását , a természetes és egész számok számos tulajdonságának bizonyítását , valamint az egész számok felhasználását a racionális és valós számok formális elméleteinek megalkotására . A Peano-féle axiómákat rövidített formában számos metamatematikai fejlesztésben használták, beleértve a számelmélet következetességével és teljességével kapcsolatos alapvető kérdések megoldását is .

Peano eredetileg kilenc axiómát feltételezett. Az első a számhalmaz legalább egy elemének létezését állítja. A következő négy az egyenlőségről szóló általános kijelentés , amely az axiomatika belső logikáját tükrözi, és mint nyilvánvaló, kizárja az axióma modern összetételéből. A következő három axióma az elsőrendű logika nyelvében a természetes számoknak a következményfüggvény alapvető tulajdonsága alapján történő kifejezéséről . A kilencedik és egyben utolsó axióma a másodrendű logika nyelvében a matematikai indukció elvéről szól természetes számok sorozatán. A Peano aritmetika egy olyan rendszer, amelyet az indukciós axióma helyett az elsőrendű logika nyelvében használt axiómarendszerrel kapunk, és az összeadás és szorzás műveleteihez szimbólumokat adunk össze.

Formulációk

Verbális

1 természetes szám;
A természetest követő szám is természetes;
1 nem követ semmilyen természetes számot;
Ha egy természetes szám közvetlenül követi mind a számot , mind a számot , akkor és azonosak; $a$ $b$ $c$ $b$ $c$
( Indukció axiómája .) Ha 1-re (indukciós bázisra) bebizonyosodik bármely feltevés, és abból a feltételezésből, hogy egy természetes számra igaz, az következik, hogy igaz a következő természetes számra (induktív feltevés), akkor ez a feltevés igaz minden természetes szám. $n$ $n$

Matematikai

A matematikai megfogalmazás az követési függvényt használja , amely egy számot párosít az azt követő számmal. $S(x)$ $x$

$1\in\mathbb{N}$ ;
$x\in {\mathbb {N}}\Rightarrow S(x)\in {\mathbb {N}}$ ;
${\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )))$ ;
${\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Jobbra b=c$ ;
${\displaystyle P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )))$ .

Egy másik írásmód is lehetséges:

$1\in\mathbb{N}$ ;
$S\colon {\mathbb {N}}\ to {\mathbb {N}}\setminus \{1\}$ ;
$\exists S^{{-1}}$ ;
${\displaystyle 1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \ M} részhalmaz$ .

Az utolsó állítás a következőképpen fogalmazható meg: ha egy bizonyos állítás igaz (indukciós alapra) és bármelyik érvényességre a és (induktív feltevés) érvényességét követi , akkor igaz bármely természetes . $P$ $n=1$ $n$ $P(n)$ $P(S(n))$ $P(n)$ $n$

Az aritmetika formalizálása

Az aritmetika formalizálása magában foglalja a Peano-féle axiómákat, valamint bevezeti az összeadás és szorzás műveleteit a következő axiómák segítségével:

$x+1=S(x)$ ;
$x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})$ ;
$x\cdot 1=x$ ;
${\displaystyle x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1))$ .

A befejezetlenségről

Amint azt Gödel befejezetlenségi tétele is sugallja , vannak olyan állítások a természetes számokra vonatkozóan, amelyeket sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet Peano axiómáiból. Ezen állítások némelyike meglehetősen egyszerű megfogalmazással rendelkezik, mint például a Goodstein -tétel vagy a Paris-Harrington-tétel .

Kategorikus

Az alapvető tény az, hogy ezek az axiómák lényegében egyedileg határozzák meg a természetes számokat (a Peano-féle axiómarendszer kategorikus jellegét). Ugyanis bebizonyítható (lásd [1] , valamint egy rövid bizonyíték [2] ), hogy ha és két modell a Peano-axiómarendszerre, akkor azok szükségszerűen izomorfak , azaz létezik invertálható leképezés ( bijekció ) így és mindenért . $(\mathbb N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb N$

Ezért elegendő a természetes számok halmazának bármely konkrét modelljét rögzíteni. $\mathbb {N}$

Például az indukció axiómájából az következik , hogy véges számú lépésben (a függvény segítségével ) bármely természetes számra át lehet lépni. A bizonyításhoz éppen azt az állítást választjuk, hogy „ a függvény segítségével véges számú lépésben el lehet jutni egy számhoz ”. Igaz . Ez is igaz , mivel a művelet egyetlen számra történő alkalmazásával megkapható , amely feltételezés szerint véges számú alkalmazás után megkapható . Az indukció axiómája szerint . $egy$ $S$ $P(n)$ $n$ $egy$ $S$ $P(1)$ ${\displaystyle {\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )))$ $S(n)$ $n$ $S$ $P(n)$ $egy$ $S$ $\forall n(P(n))$

Történelem

Az aritmetika formalizálásának szükségességét egészen Hermann Grassmann munkásságáig nem vették komolyan , aki az 1860-as években kimutatta, hogy az aritmetika számos ténye megállapítható az implikációs függvény és a matematikai indukció elemibb tényeiből. Charles Sanders Peirce 1881-ben publikálta a természetes számok aritmetika axiomatizálását. A természetes számok formális meghatározását 1889 -ben Peano olasz matematikus fogalmazta meg Grassmann korábbi konstrukciói alapján Az aritmetika alapjai, új módon kijelentve ( lat. Arithmetices principia, nova methodo exposita ) című könyvében. 1888- ban (egy évvel Peano előtt) Dedekind [3] egy majdnem pontosan hasonló axiomatikus rendszert adott ki . A Peano aritmetika konzisztenciáját 1936 - Gentzen bizonyította rendszám transzfinit Amint Gödel második hiányossági tételéből következik , ez a bizonyítás nem hajtható végre magával a Peano aritmetikával. $\epsilon_{0}.$

Jegyzetek

↑ Feferman S. Numerikus rendszerek. Az algebra és az elemzés alapjai. - 1971. - 445 p.
↑ A természetes számok egyediségének bizonyítása . Hozzáférés dátuma: 2011. február 4. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 22. (határozatlan)
↑ N. Bourbaki . A matematika alapjai. Logikák. Halmazelmélet // Esszék a matematika történetéről / I. G. Bashmakova (francia nyelvről fordítva). - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1963. - S. 37. - 292 p. — (A matematika elemei).

Irodalom

Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita . Bocca, Torino, 1889.
Peano, G. Mathematiques Formulaire. Tome II - No. 2. Bocca, Torino, 1897.
Arnold IV Elméleti aritmetika . M.: Uchpedgiz, 1938.