Tarski-axiomatika (valós számok)

Tarski valós számok axiomatikája az Alfred Tarski által 1936-ban [1] javasolt valós számok aritmetikai rendszerének egy változata .

Jellemzők

Tarskinak ezt az axiomatikáját tekinthetjük a valós számok halmazának a Dedekind [2] értelmében befejezett egyetlen rendezett mezőként szokásosabb definíciójának egy változatának ( lásd még Legkisebb felső korlátos tulajdonság ).

Tarski megközelítése, ellentétben a gyakoribb analógokkal (lásd a Valós számok című cikket ), mindössze 9 axiómát tartalmaz, amelyek négy primitív fogalmat kapcsolnak össze [3] .

Meg kell jegyezni, hogy Tarski axiomatikája nem az első , hanem a másodrendű logikát használja , ami szintén megkülönbözteti az analógoktól. Az axiomatika rövidsége a standard algebrai axiómák unortodox változatainak és más finom trükköknek a használatával érhető el (lásd például az 5. és 6. axiómát, amelyek az Abel-csoportok szokásos négy axiómáját egyesítik ). Ezenkívül az axiómák listájának tömörsége szükségessé teszi az elméletet gyakorlati szintre "hozó" tételek hosszú listájának unalmas bizonyítását [4] .

Axiomatika

Tarski axiomatikája négy primitív (meghatározatlan) fogalmat használ.

  1. Számok halmaza, jelölése R.
  2. Az R elemeinek teljes rendjének bináris relációja , amelyet a < infix szimbólum jelöl.
  3. Az R bináris összeadási művelete , amelyet a + infix szimbólum jelöl.
  4. Állandó 1.

Ezeket a fogalmakat a következő kilenc axióma kapcsolja össze [3] .

Axiómák rendezése R -hez
  1. ( linearitás ): ha x ≠ y , akkor vagy x < y vagy y < x .
  2. ( aszimmetria ): ha x < y , akkor y < x hamis .
  3. (rendsűrűségi törvény): ha x < z , akkor van olyan y , hogy x < y és y < z .
  4. (Dedekind-féle folytonossági axióma): bármely X , Y ⊆ R részhalmazra , ha x  <  y bármely x  ∈  X és y  ∈  Y esetén, akkor létezik olyan z elem , amelyre bármely x  ∈  X és y  ∈  Y esetén a következő tulajdonság teljesül. : ha z  ≠  x és z  ≠  y , akkor x  <  z és z  <  y .

Az utolsó axióma egyértelműen azt jelenti, hogy ha az X halmaz összes eleme a numerikus tengelyen balra helyezkedik el, mint az Y halmaz összes eleme, akkor e halmazok között legalább egy valós szám van. Ez az axióma, amely két részhalmaz kvantort tartalmaz , ami miatt Tarski axiomatikája nem az első, hanem a logika második rendjébe tartozik. A folytonossági axióma használata lehetővé teszi (a szorzás definiálása után) először racionális számok [5] , majd tetszőleges valós számok Dedekind-szakaszok [2] bevezetését .

Összeadás axiómák
  2. x  + ( y  +  z ) = ( x  +  z ) +  y .
  3. ( kivonás lehetősége ): bármely x , y esetén létezik olyan z , hogy x  +  z  =  y . Ennek az axiómának az egyik következménye, hogy az 1 + x  = 1 egyenlet megoldásaként a  nulla létezik.
  4. ha x  +  y  <  z  +  w , akkor x  <  z vagy y  <  w .
Axiómák az egységért
  2. (létezés): 1 ∈ R .
  3. 1 < 1 + 1.

Tarski bebizonyította, hogy az első kivételével minden axióma független (az első levezethető a többiből [4] ). Az axiómákból levezethető, hogy R egy lineárisan rendezett Abel -féle osztható csoport az 1 pozitív megkülönböztető elemű összeadás tekintetében. A szorzás , osztás és ezek szokásos tulajdonságai is bizonyítottak. R teljes a Dedekind értelmében .

Megjegyzés

Az első axióma ( a sorrend linearitása ) a többi axiómából következik [6] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Tarski, Alfred. Bevezetés a logikába és a deduktív  tudományok módszertanába . - 4. - Oxford University Press , 1994. - ISBN 978-0-19-504472-0 .
  2. ↑ 1 2 Lásd a Dedekind-féle megközelítést a könyvben: Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. - Szerk. 6. - M . : Nauka, 1966. - T. I.
  3. ↑ 1 2 Tarski. Bevezetés a logikába, 1948 , p. 275.
  4. ↑ 1 2 Tarski. Bevezetés a logikába, 1948 , p. 278.
  5. ↑ Tarsky. Bevezetés a logikába, 1948 , p. 285.
  6. ↑ Ucsnay, Stefanie. A Note on Tarski's Note  //  The American Mathematical Monthly  : Journal. - 2008. - január ( 115. évf. , 1. sz.). - 66-68 . o . — .

Irodalom