Az xʸ = yˣ egyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2017. december 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 15 szerkesztést igényelnek .

Bár a hatványozási művelet nem kommutatív , az egyenlőség bizonyos párokra érvényes, pl. [1] $x^{y}=y^{x}$ $(x,y),$ $x=2,y=4.$

Történelem

Az egyenletet Bernoulli Goldbachhoz írt levele (1728. június 29. ) említi [2] . A levél azt mondja, hogy a pár az egyetlen (permutációig) megoldás természetes számokban, bár a racionális számokban végtelen sok megoldás létezik [3] [4] . Goldbach válaszlevele (1729. január 31. [2] ) tartalmazza a [3] helyettesítésével kapott egyenlet általános megoldását Hasonló megoldást ad Euler [4] . J. van Hengel rámutatott, hogy ha pozitív egész számok, vagy akkor , egy egyenlet természetes számokban történő megoldásához elegendő figyelembe venni az eseteket és [4] [5] $x^{y}=y^{x}$ $x\ney$ $(2,4)$ $y=vx.$ $r,n$ $r\geqslant 3$ $n\geqslant 3,$ $r^{r+n}>(r+n)^{r},$ $x=1$ $x=2.$

A problémát a matematikai szakirodalom többször is tárgyalta [3] [4] [2] [6] [7] . 1960-ban az egyenlet a Putnam Olimpián [8] a feladatok között szerepelt , ami arra késztette A. Hausnert, hogy kiterjesztse az eredményeket algebrai mezőkre [3] [9] .

Megoldások valós számokban

A pozitív valós számokban lévő triviális megoldások végtelen halmaza megtalálható az egyenlet megoldásaként Nem triviális megoldásokat találhatunk úgy, hogy akkor $x=y.$ $x\neq y,$ $y=vx.$

(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.

Mindkét oldal hatványra emelése , majd osztása ad ${\tfrac {1}{x}}$ $x$

v=x^{v-1}.

Ekkor a pozitív valós számok nem triviális megoldásait a következőképpen fejezzük ki

x=v^{\frac {1}{v-1)),

y=v^{\frac {v}{v-1)).

A természetes számokban nem triviális megoldást a vagy beállításával kaphatunk $4^{2}=2^{4}$ $v=2$ $v={\tfrac {1}{2}}.$

Megoldás a Lambert W-függvény szempontjából

Az egyenlet megoldása a változó nem elemi Lambert W-függvényével is kifejezhető : [10] ${\displaystyle y^{x}=x^{y))$ $W(x)$ $x$

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}$ , cseréljünk : $x={\frac {1}{z))$

${\displaystyle y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z} }}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}= y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y))))$

A változót most a Lambert W-függvény segítségével fejezhetjük ki : $z$ $z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y))}{\bigr )}{\bigr )))$

A végső megoldás így fog kinézni: $x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y))}{\bigr )}{\bigr )))$

Különösen, tekintettel ennek a függvénynek a kétértelműségére, az intervallumon vagy az egyenletnek két gyöke lesz . $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1$ $e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1$ ${\displaystyle x_{1},x_{2))$

A paraméterek ( vagy ) közül melyik lesz változó, lényegében nem mindegy, a képlet változatlan marad. $y$ $x$

Ha az egyenlőtlenség (vagy )< igaz egy (vagy ) változóra , akkor a valós számokban nincsenek gyökök. $x$ $y$ $y$ $x$ $e^{\frac {1}{e}}$

Megoldás a másodfokú szupergyökér szempontjából

Az egyenlet az és egyenlet speciális esete . Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük az általános megoldási képletbe, könnyen megtalálhatjuk a megoldást az eredeti egyenletre: [11] ${\displaystyle y^{x}=x^{y))$ $y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const$ $b=1$ $n=y$

${\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2)) {\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1))))}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1} \Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2)){\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y))}{\Bigr )}{\biggr )))$

Ez a megoldás teljesebb, mivel lehetővé teszi, hogy negatív valós gyököket kapjunk, ha léteznek (mivel a logaritmus az előző megoldásban szereplő kitevővel ellentétben lehet nullánál kisebb is). A harmadik gyök létezését az egyenletek ekvivalenciája magyarázza, és még a -hoz is , azonban a gyakorlatban csak maximum két valós gyök van (a képletben a harmadik gyök szükségszerűen idegen), mivel a szupergyökér A másodfokú függvény a fenti függvény inverze (egyébként ), amelyet a Lambert W-függvényben fejezünk ki, amely viszont nem vehet fel kettőnél több valós értéket [12] . ${\displaystyle y^{x}=x^{y))$ ${\displaystyle y^{x}=(-x)^{y))$ $y$ $f(z)={}^{\frac {1}{2}}z$ ${\displaystyle f(z)=z^{z))$ $f(z)={}^{2}z$

Ebből a megoldásból következik az azonos egyenlőség: . Ez könnyen bebizonyítható, ha a fent leírt két megoldást egyenlővé tesszük: $-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{ }^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}$

$-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{ }^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Hosszú jobbra nyíl {}^{\frac {1}{2}}(y^{ -{\frac {1}{y}}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}) = -{\frac {1}{y}}$ , akkor a másodfokú logaritmus és szupergyök tulajdonságai szerint:

$\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^ {{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{ y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$ . A bizonyított azonosság a [11] alatti általánosabb eset speciális esete . $b=-y$

Jegyzetek

↑ 1 2 Loczi Lajos. A közösségi és asszociatív erőkről . KoMaL . Az eredetiből archiválva: 2002. október 15. (határozatlan)
↑ 1 2 3 David Singmaster . Források a rekreációs matematikában: jegyzetekkel ellátott bibliográfia. 8. előzetes kiadás . Archiválva az eredetiből 2004. április 16-án. (határozatlan)
↑ 1 2 3 4 Marta Sved. Az x y = y x racionális megoldásairól // Matematikai Magazin. - 1990. Archiválva : 2016. március 4.
↑ 1 2 3 4 Leonard Eugene Dickson. Az x y = y x racionális megoldásai // A számelmélet története . - Washington, 1920. - 1. évf. II. — 687. o.
↑ Hengel, Johann van. Beweis des Satzes, dass unter allen reellen pozitívn ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung a b = b a genügt . - 1888. Archiválva : 2016. április 14.
↑ D. O. Shklyarsky , N. N. Csencov , I. M. Jaglom . 5. Egyenletek megoldása egész számokban. 168. feladat // Az elemi matematika válogatott feladatai és tételei. Aritmetika és algebra. - 5. - M . : Nauka , 1976. - S. 35. - 384 p. - (A matematikai kör könyvtára). — 100.000 példány.
↑ Galperin G. A., Tolpygo A. K. Moszkvai matematikai olimpiák: Könyv. diákoknak / Szerk. A. N. Kolmogorova. - M . : Oktatás, 1986. - S. 33, 34, 160.
↑ A huszonegyedik William Lowell Putnam matematikai verseny (1960. december 3.), délutáni foglalkozás, 1. feladat // The William Lowell Putnam matematikai versenyfeladatok és megoldások: 1938-1964 / AM Gleason, RE Greenwood, LM Kelly. - MAA , 1980. - P. 59. - ISBN 0-88385-428-7 .
↑ A. Hausner, Algebrai számmezők és a diofantin egyenlet m n = n m , Amer. Math. Monthly 68 (1961), 856-861.
↑ Lambert W-függvény // Wikipédia. — 2017-09-13. (Orosz)
↑ 1 2 Superroot // Wikipédia. — 2018-06-22. (Orosz)
↑ A. E. Dubinov, I. D. Dubinova, S.K. Sajkov. A Lambert W-függvény és alkalmazása a fizika matematikai problémáira . - Sarov: Szövetségi Állami Egységes Vállalat "RFNC-VNIIEF", 2006. - 160 p. - ISBN 5-9515-0065-6 , BBC 22.311ya 73, D79. Archiválva : 2018. június 27. a Wayback Machine -nál

Linkek

Az x^y = y^x racionális megoldásai . CTK Wiki Math . (határozatlan)
x^y = y^x - ingázási hatványok . Számtani és analitikai rejtvények . Torsten Silke. Archiválva az eredetiből 2015. december 28-án. (határozatlan)
dborkovitz. Az x^y=y^x paraméteres grafikonja . GeoGebra (2012. január 29.). (határozatlan)
OEIS sorozat A073084 : Decimális expanzió -x ahol x a 2^x = x^2 egyenlet negatív megoldása