H∞-szabályozás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. július 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

H a végtelenben vagy a szabályozáselméleti módszer az optimális vezérlők szintézisére . A módszer egy optimalizálási módszer, amely egy zárt rendszer várható viselkedésének és stabilitásának szigorú matematikai leírásával foglalkozik . A módszer figyelemre méltó szigorú matematikai alapjairól, optimalizálási jellegéről, valamint alkalmazhatóságáról mind a klasszikus, mind a robusztus szabályozásban. ${\mathcal {H}}_{\infty }$

${\mathcal {H}}$ ez a norma a Hardy térben . A „végtelen” a frekvenciatartomány minimummax feltételeinek teljesülésére utal . egy dinamikus rendszer normája, melynek jelentése a rendszer maximális energianyeresége. MIMO rendszerek esetén egyenlő a rendszer átviteli függvényének maximális szinguláris értékével , SISO rendszerek esetén pedig frekvenciaválaszának amplitúdójának maximális értékével . ${\mathcal {H}}_{\infty }$

A probléma leírása

Először a rendszert szabványos formára kell hozni:

A vezérlőobjektumnak két bemenete, két külső behatása van , amelyek magukban foglalják a referenciajelet és a zavarokat. A szabályozott változó címkével van ellátva . Ez a rendszer kimeneti jelvektora, amely a minimálisra csökkentendő hibajelből és a szabályozókörben használt mért változóból áll. K -ban a változó megszámlálására használják . $\ P$ $\w$ $\u$ $\z$ $\v$ $\v$ $\u$

Rendszer egyenlet:

{\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=P(s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_ {11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{ bmátrix}}

u=K(s)\,v

Így lehetséges kifejezni a függőséget : $\z$ $\w$

z=F_{l}(P,K)\,w

És tovább:

F_{l}(P,K)=P_{11}+P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}

Így az -optimális vezérlés célja egy olyan , vezérlő szintetizálása , amely minimalizálná a rendszer -normáját. Ugyanez vonatkozik a menedzsmentre is. A mátrix végtelenjében lévő normát a következőképpen határozzuk meg: ${\mathcal {H}}_{\infty }$ $\K$ $\ F_{l}(P,K)$ ${\mathcal {H}}_{\infty }$ ${\mathcal {H}}_{2}$ $\ F_{l}(P,K)$

||F_{l}(P,K)||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{l}(P,K)(j\ omega ))

ahol a mátrix maximális szinguláris értéke . ${\bar {\sigma ))$ $\ F_{l}(P,K)(j\omega )$

Az így talált vezérlő a - értelemben optimális . Számos olyan alkalmazás is létezik, amelyekben az úgynevezett " kis nyereség probléma " megoldódik . A feladat részeként olyan vezérlőt kell találni, amely a feltétel teljesülését biztosítaná ${\mathcal {H}}_{\infty }$

min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1

Ezt a feladatot néha "standard -control feladatnak" is nevezik . ${\mathcal {H}}_{\infty }$

Előnyök és hátrányok

A H∞-szabályozás számos tulajdonsággal rendelkezik a robusztus vezérlőszintézis más módszereivel összehasonlítva. Az előnyök közé tartozik:

A módszer a rendszer stabilitásával és érzékenységével működik.
Egyszerű egylépéses algoritmus.
A kimeneti frekvencia válasz pontos alakítása.

A hátrányok közé tartozik, hogy a módszer különös figyelmet igényel a vezérlőobjektum parametrikus robusztusságára.

Vezérlő tulajdonságai ${\mathcal {H}}_{\infty }$

1. Az -optimális vezérlő súlyfüggvénye egy fázisszűrő , azaz a rendszer legkisebb szinguláris értékére az összefüggés teljesül: ${\mathcal {H}}_{\infty }$ ${\bar {\sigma \ }}$

{\bar {\sigma \ }}(F_{l}(P,K))=1

bárkinek

\omega \ \in R

2. -optimális vezérlőnek van maximális sorrendje , ahol a vezérlő objektum sorrendje . ${\mathcal {H}}_{\infty }$ $\n-1$ $\n$

A -vezérlők létezésének feltételei ${\mathcal {H}}_{\infty }$

Ha egy -vezérlő létezik egy szabványos feladatban: ${\mathcal {H}}_{\infty }$

min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1

szükséges és elegendő a következő feltételek teljesülése:

1. Zárt rendszert ábrázolunk egyenletek formájában az állapottérben :

\pont{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)

\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

Olyan arányos szabályozási törvénynek kell lennie , hogy a zárt rendszer mátrixának legnagyobb szinguláris értéke kielégítse az egyenlőtlenséget $\ F(s)=K$ ${\megjelenítési stílus \D}$ $\sigma _{n}\ (D)<1$

2. Riccati egyenlet a vezérléshez

Az állapotszabályozás Riccati-egyenletének valódi, pozitív-meghatározott megoldással kell rendelkeznie . $P\geq 0$

3. Riccati - egyenlet megfigyelőre

A vezérlővel párhuzamosan dolgozó megfigyelő Riccati-egyenletének valódi, pozitív határozott megoldással kell rendelkeznie . $S\geq 0$

4. Saját számok korlátozása:

A Riccati-egyenletek két megoldásának (a vezérlőre és a megfigyelőre vonatkozó) szorzatának legnagyobb sajátértékének kisebbnek kell lennie egynél: $\lambda _{max}(PS)<1$

Lásd még

robusztus vezérlés

Bibliográfia

Egupov N. D., Pupkov K. A. Az automatikus vezérlés klasszikus és modern elméletének módszerei. Automatikus vezérlőrendszerek szabályozóinak szintézise. 5 kötetben. Vol. 3, Ed.2. 2004.616 p.
R.Y. Chiang, A modern robusztus szabályozás elmélete. Ph. D. Értekezés: USC, 1988.