Nullától a nulláig

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 17 szerkesztést igényelnek .

A 0⁰ ( nulla a nulla hatvány ) kifejezést sok tankönyv homályosnak és értelmetlennek tartja [1] [2] . Ez annak a ténynek köszönhető, hogy egy pontban két változó függvényének van egy redukálhatatlan szakadása . Valójában a tengely pozitív iránya mentén, ahol egyenlő eggyel, és a tengely pozitív iránya mentén, ahol egyenlő nullával. Ezért a 0⁰ értékére vonatkozó konvenció nem adhat olyan függvényt, amely nullán folytonos. ${\displaystyle f(x,y)=x^{y))$ $(0, 0)$ $x,$ $y=0,$ $Y,$ $x=0,$

Egyetértés 0 0 = 1: Támogatók érve

Egyes szerzők azt javasolják, hogy fogadják el azt a megállapodást, hogy ez egyenlő 1-gyel. Számos érv szól e lehetőség mellett. Például a kitevő sorozatává való kiterjesztése: $0^{0}$

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}

rövidebbre írható, ha elfogadjuk : $0^{0}=1$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}

(a vizsgált konvenciót akkor használjuk, ha ). $x=0,\ n=0$

Ha a 0 természetes számokra vonatkozik , akkor a természetes hatványra való emelés a következőképpen definiálható:

a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n},

majd bármilyen számot (beleértve a nullát is) nullára emelve 1-et kapunk.

A megegyezés másik indoklása Bourbaki „halmazelméletén” [3] alapul: egy n elemű halmaz különböző leképezéseinek száma egy m elemű elemre egyenlő azzal, ha egy üres halmazból egy leképezést kapunk egy üres, és egyedi. Ez persze nem tekinthető bizonyításnak (a konvenciókat nem kell bizonyítani), főleg, hogy magát a konvenciót nem használják a halmazelméletben. $0^{0}=1$ $m^{n},$ $m=n=0$ $0^{0}=1$

Mindenesetre a konvenció pusztán szimbolikus, és nem használható sem algebrai, sem analitikus transzformációkban, mivel a függvény ezen a ponton nem folytonos. A modern matematikai elemzés fényében ebben az esetben egyáltalán nem helyénvaló megegyezésről beszélni, ezt a kifejezést csak a bizonytalanság feltárásában lévő korlátozó átmenet értelmében lehet és kell érteni. Példa analitikai számításokhoz: a kifejezés ahol egy tetszőleges pozitív valós szám. Ha típusbizonytalanságot kapunk , és ha nem teszünk különbséget a korlátozó forma (ahol a nullák mindegyike a nullára való hajlamot jelöli) és az érték között (ahol a nullák mindegyike nulla), akkor tévesen feltételezhetjük, hogy a határérték 1 Valójában ez a kifejezés megegyezik a Ez azt jelenti, hogy egy végtelenül kicsi hatvány a határértékben bármilyen értéket adhat, nem feltétlenül egyet. Hasonló hibákat követhetünk el, ha az egyezményt algebrai transzformációkban alkalmazzuk. $0^{0}=1$ $(a^{-1/t})^{t},$ $a$ $t\to 0$ $0^{0},$ $0^{0}$ $0^{0}$ $a^{-1}.$

Különböző nézőpontok története

A definíció körüli vita legalább a 19. század eleje óta folyik. Ezután sok matematikus elfogadta az egyezményt , de 1821-ben Cauchy [4] olyan bizonytalanságok közé sorolta, mint az 1830-as években a Libri [5] [6] nem meggyőző érvet tett közzé (lásd Heaviside függvény § History ), és Möbius [7] mellett. ] mellette állt, tévesen kijelentve, hogy bármikor . A recenzens, aki egyszerűen "S"-ként írta alá a nevét, egy ellenpéldával szolgált , ami kissé megnyugtatta a vitát. További történelmi részletek találhatók Knuth (1992) [8] -ban . $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$ ${\frac {0}{0)).$ $0^{0}=1$ $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1$ $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0$ ${\displaystyle (e^{-1/t})^{t))$

A későbbi írók különbözőképpen értelmezik a fenti helyzetet. Egyesek azzal érvelnek, hogy a legjobb érték a kontextustól függ, ezért ennek egyszeri meghatározása problematikus [9] . Benson (1999) szerint „A döntés, hogy meg kell-e határozni, inkább a kényelemen alapul, mint a helyességen. Ha tartózkodunk a definiálásától , akkor egyes állítások szükségtelenül kínossá válnak. <...> A konszenzus a definíció használata , bár vannak olyan tankönyvek, amelyek tartózkodnak a " [10] definíciójától . $0^{0}$ $0^{0},$ $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$

Egyes matematikusok úgy gondolják, hogy ezt 1-ként kell meghatározni. Például Knuth (1992) magabiztosan állítja, hogy " 1 -nek kell lennie", különbséget téve az értéke között , amelynek 1-nek kell lennie, amint azt a Libri javasolja, és a határforma között ( a limit where rövidítése ), ami szükségképpen kétértelműség, amint arra Cauchy is rámutatott: "Cauchynak és Librinek is igaza volt, de Libri és védői nem értették, miért van az igazság az ő oldalukon" [8] . $0^{0}$ $0^{0}$ $0^{0}$ $0^{0}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $f(x),g(x)\to 0$

A tekintélyes MathWorld oldal Knuth véleményére hivatkozva ennek ellenére azt állítja, hogy az értéket általában definiálatlannak tekintik, annak ellenére, hogy az egyezmény bizonyos esetekben lehetővé teszi a képletek írásának egyszerűsítését [11] . Oroszországban a Nagy Orosz Enciklopédia , a Nagy Szovjet Enciklopédia , a Matematikai Enciklopédiai Szótár, Vygodsky's Handbook of Elementary Mathematics, iskolai tankönyvek és más források egyértelműen értelmetlen kifejezésként (bizonytalanság) jellemzik. $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$

A bizonytalanság közzététele 0 0

Ha adott két függvény és nullára hajlik, akkor a határ általános esetben, ahogy fentebb is látható, bármi lehet. Ebből a szempontból tehát bizonytalanság. A határ meghatározásához ebben az esetben a bizonytalanság feltárásának módszereit használják , általában először az adott kifejezés logaritmusát veszik: , majd a L'Hopital szabályt . $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $0^{0}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ ${\displaystyle \ln \left(f(x)^{g(x)}\right)={\frac {g(x)}{\frac {1}{\ln f(x)))))$

Bizonyos feltételek mellett azonban ez a határ mindig eggyel egyenlő. Nevezetesen, ha a és függvények egy pontban analitikusak (vagyis valamelyik szomszédságban a pontok egybeesnek a Taylor-sorukkal ), és , és egy szomszédságban , akkor a jobb oldali nullára hajló határérték 1 [12] [13] [14] . $f$ $g$ $0$ $0$ $f(0)=g(0)=0$ $f(x)>0$ $(0,\delta )$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $x$

Például így azonnal ellenőrizheti

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1,

\lim _{x\to 0^{+}}(\sin x)^{\operátornév {tg} x}=1,

\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{x+1}-e\right)^{x}=1.

Ugyanakkor nem szabad elfelejteni, hogy ha legalább az egyik függvény nem bővül Taylor-sorrá a 0 pontban, vagy azonos 0-val, akkor a határ bármi lehet, vagy nem is létezik. Például, $f(x)$

\lim _{x\to 0^{+}}x^{a/\ln x}=e^{a},

\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1},

\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.

Összetett eset

Komplex számok esetén a for :definíciójaés,többértékűkifejezésealak ] . $u,v$ $u^{v}$ $u\neq 0$ $e^{v\operátornév {Ln} u}$ $\operatorname {Ln} 0$ $0^{0},$ $0^{z},$ $z\neq 0$ $0^{z}=0$

Számítógépekben

Az IEEE 754-2008 szabvány , amely leírja a lebegőpontos számok ábrázolásának formátumát , három hatványozási függvényt határoz meg [18] :

Egész hatványra emelő függvény: . A szabvány szerint bármely , akkor is, ha nulla vagy végtelen. $\operatorname {pown} (x,y)$ $\operatorname {pown} (x,0)=1$ $x$ $x$ NaN
Tetszőleges hatványra emelő függvény: - lényegében egyenlő a . A szabvány szerint " nem számot " ad vissza . $\operatorname {power} (x,y)$ ${\displaystyle \exp {\big (}y\ln(x){\big )))$ $\operatorname {pwr} (\pm 0,\pm 0)$ NaN
Tetszőleges hatványra emelő függvény, amely kifejezetten egész számokra van definiálva: . A szabvány szerint mindenkinek (ugyanúgy, mint ). Ennek az egyezménynek összességében ésszerű indoklása van (lásd alább), azonban a probléma akkor merülhet fel, ha . $\operatorname {pow} (x,y)$ $\operatorname {pow} (x,\pm 0)=1$ $x$ $\operatorname {pown} (x,0)$ x=NaN

Sok programozási nyelvben a nulla-nulla hatvány egyenlő 1-gyel. Például a C++ : pow(0, 0) == 1, Haskell nyelvben ez mindhárom szabványos hatványozási műveletre igaz: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1. Ugyanez vonatkozik a szabványos MS Windows számológépre is.

Bár köztudott, hogy ez egy kétértelműség, egyes függvények viselkedése, amelyek ebben az esetben visszatérnek, nem megegyezés vagy hiba eredménye, hanem megvan a magyarázata. A tény az, hogy a számítógépes aritmetikában a numerikus adatokat egész és valós számokra osztják. Ez implicit módon használható néhány olyan függvényben, amely végrehajtja a hatványozási műveletet. Ez például a Windows számológépben történik, és a C++ nyelven működik. Egész és valós kitevőkre különböző algoritmusokat használnak, és a hatványozási függvény elemzi a kitevőt: ha az egész szám, akkor a kitevőt más algoritmus szerint számítják ki, amelyben a kitevő negatív és nulla bázisa megengedett. Ha a kitevő az egész számok halmazába tartozik, és egyenlő 0-val, és az alap egy valós szám, akkor a műveletet csak így kell definiálni . Mivel a kitevőben a 0 pontos, a határértékre való átlépés csak a bázisra vonatkozik, és (ellentétben azzal az esettel, amikor a kitevő is valós) egyedileg definiált és egyenlő -val . A fentiek teljes mértékben érvényesek a kifejezés kiszámításának esetére . $0^{0}$ $egy$ pow $0^{0}$ $\lim _{x\to 0}x^{0}$ $egy$ ${\displaystyle (\pm \infty )^{0))$

Irodalom

Hatalomfüggvény // Nagy szovjet enciklopédia . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
Teljesítményfüggvény // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.

Jegyzetek

↑ BRE .
↑ TSB, 1969-1978 : „A hatványfüggvényhez ... nincs definiálva a ; semmi értelme." $x=0$ $x^{a}$ $a<0$ $0^{0}$
↑ N. Bourbaki . Halmazelmélet // Matematika elemei, Springer-Verlag, 2004, III, 3.5.
↑ Augustin-Louis Cauchy . Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). Az Oeuvres Complètes 2. sorozatában, 3. kötetében.
↑ Guillaume Libri . Note sur les valeurs de la fontction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
↑ Guillaume Libri . A Mémoire sur les fonctions megszűnik, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
↑ A. F. Mobius. Beweis der Gleichung 0 0 = 1, nach JF Pfaff (német) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1834. - Bd. 12 . - S. 134-136 .
↑ 1 2 Donald E. Knuth, Két megjegyzés a jelölésről, Amer. Math. Havi 99 sz. 5 (1992. május), 403-422 (arXiv: math/9205211 Archiválva : 2018. november 20. a Wayback Machine -nél [math.HO]).
↑ Például: Edwards és Penny (1994). Calculus , 4. kiadás, Prentice-Hall, p. 466; Keedy, Bittinger és Smith (1982). Kettes algebra . Addison-Wesley, p. 32.
↑ Donald C. Benson, The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies . New York Oxford University Press (Egyesült Királyság), 1999. ISBN 978-0-19-511721-9 .
↑ Weisstein, Eric W. Power . wolfram mathworld . Letöltve: 2018. október 5. Az eredetiből archiválva : 2018. szeptember 12.. (határozatlan)
↑ Louis M. Rotando; Henry Korn. A határozatlan forma 0 0 // Matematikai Magazin : folyóirat . - 1977. - január ( 50. évf. , 1. sz.). - P. 41-42 . - doi : 10.2307/2689754 .
↑ sci.math GYIK: Mi az a 0^0? . www.faqs.org. Letöltve: 2019. augusztus 30. Az eredetiből archiválva : 2010. december 2. (határozatlan)
↑ Leonard J. Lipkin. A határozatlan nyomtatványon 0 0 // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34 , sz. 1 . - S. 55-56 . — ISSN 0746-8342 . - doi : 10.2307/3595845 . Archiválva az eredetiből 2019. október 13-án.
↑ "Mivel a log(0) nem létezik, a 0 z definiálatlan. Re( z ) > 0 esetén tetszőlegesen 0"-ként definiáljuk. ( George F. Carrier, Max Krook és Carl E. Pearson , Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, 15. o.).
↑ " Z = 0 , w ≠ 0 esetén 0 w = 0 definiálunk , míg 0 0 nincs definiálva". Mario Gonzalez : Klasszikus komplex elemzés, Chapman és Hall, 1991, 1. o. 56.
↑ "Kezdjük x = 0 -val . Itt x x nem definiált". Mark D. Meyerson , The x x Spindle, Mathematics Magazine 69 , no. 3 (1996. június), 198-206.
↑ IEEE Computer Society. IEEE lebegőpontos aritmetikai szabvány § 9.2.1 : napló . — IEEE, 2008. — augusztus 29. - ISBN 978-0-7381-5753-5 . - doi : 10.1109/IEEEESTD.2008.4610935 .