A bizonytalanságok közzététele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Bizonytalanság feltárása - módszerek a képletekkel megadott függvények határainak kiszámítására, amelyek az argumentum határértékeinek formális helyettesítése következtében elvesztik értelmüket, azaz olyan kifejezésekké alakulnak, mint:

\left(\infty -\infty \right)

\left({\frac {\infty }{\infty }}\jobb)

\left({\frac {0}{0}}\jobb)

\left(0\cdot \infty \right)

\left(0^{0}\right)

\left(\infty ^{0}\right)

\left(1^{\infty }\right)

(Itt egy végtelenül kicsi érték , egy végtelenül nagy érték , az 1 egy olyan kifejezés, amely végtelenül közel áll az 1-hez) ${\textstyle 0}$ $\infty$

amelyek alapján nem lehet megítélni, hogy a kívánt határok léteznek-e vagy sem, nem beszélve az értékük megtalálásáról, ha léteznek.

A legerősebb módszer a L'Hopital-szabály , azonban nem minden esetben teszi lehetővé a határérték kiszámítását . Ráadásul közvetlenül csak a felsorolt bizonytalanságok második és harmadik típusára, azaz összefüggésekre vonatkozik, és ahhoz, hogy más típusokat feltárjunk, először ezek valamelyikére kell redukálni.

Ezenkívül a határértékek kiszámításához a vizsgált bizonytalanságban szereplő kifejezések kiterjesztését gyakran használják egy Taylor-sorozatban a határpont közelében . A , típusok bizonytalanságának feltárására a következő módszert alkalmazzák: megkeresik az adott bizonytalanságot tartalmazó kifejezés (természetes) logaritmusának határát . Ennek eredményeként a bizonytalanság típusa megváltozik. A határérték megtalálása után a kitevőt veszik belőle . $\left(~0^{0}\jobb)$ $\left(1^{\infty }\jobb)$ $\left(\infty ^{0}\jobb)$

\left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )} \jobb)

\left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1))\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\ jobb)

\left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\ jobb)

A következő algoritmus használható a típus kétértelműségeinek feloldására : ${\frac {\infty }{\infty ))$

Egy változó legmagasabb fokának azonosítása;
Osszuk el ezzel a változóval a számlálót és a nevezőt is.

A típus-kétértelműségek megoldására a következő algoritmus áll rendelkezésre: $\left({\frac {0}{0}}\jobb)$

A számláló és a nevező faktorizálása;
Frakciócsökkentés.

A típus-kétértelműségek feloldásához néha célszerű a következő átalakítást alkalmazni: $(\infty -\infty )$

Legyen és ;

f(x){\xjobbra nyíl {x\to a}}\infty

g(x){\xjobbra nyíl {x\to a}}\infty

\lim _{{x\to a}}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{{x\to a}}\left({\frac {1 }{{\frac {1}{f(x)}}}}-{\frac {1}{{\frac {1}{g(x)))}}\right)=\lim _{{x \to a}}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)))}{{\frac {1}{g(x)} }\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)

Az ilyen típusú bizonytalanság feloldható a minuend és a részfej aszimptotikus kiterjesztésével, miközben a végtelenül nagy, azonos rendű tagokat ki kell küszöbölni.

Figyelemreméltó korlátok és következményeik érvényesülnek a bizonytalanságok feltárásakor is .

Példa

$\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}},a>0$ egy példa [1] a forma bizonytalanságára . L'Hopital szabálya szerint . A második módszer az, hogy összeadunk és kivonunk a számlálóban , és kétszer alkalmazzuk a Lagrange-tételt a függvényekre , ill. $\left({\frac {0}{0}}\jobb)$ $\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x }\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)$ $a^{a}$ $a^{x}$ $x^{a}$

${\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{ a})}{xa))={\frac {a^{c}\ln a(xa)-ad^{a-1}(xa)}{xa}}=a^{c}\ln a- hirdetés^{a-1}$

itt c, d a és x között helyezkednek el, tehát az a-ra hajlanak, mint az x az a-ra, így ugyanazt a határértéket kapjuk, mint az első módszernél.

Jegyzetek

↑ Demidovich B.P. 1358. sz. feladat // Matematikai elemzési feladatok és gyakorlatok gyűjteménye. - 7. kiadás - M . : Nauka , 1969. - S. 136.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Új