Kernel (algebra)

Az algebrai kernel a leképezés jellemzője , amelyet jelöl , tükrözve az injektív leképezéstől való eltérést , általában valamilyen rögzített (nulla, azonosság, semleges) elem inverz képeinek halmazát . A konkrét definíció változhat, de injektív leképezés esetén a halmaznak mindig triviálisnak kell lennie, azaz egy elemből kell állnia (általában egy semleges elemből ). $\f:A\jobbra nyíl B$ $\ker \,f$ $f$ $e$ $f$ $\ker \,f$ $A$

Ha a és halmazoknak van valamilyen szerkezete (például csoportok vagy vektorterek ), akkor nekik is ilyen szerkezettel kell rendelkezniük, miközben a fő homomorfizmus-tétel különféle megfogalmazásai kötik össze a képet és a faktorhalmazt . $A$ $B$ $\ker \,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $A/\ker \,f$

Lineáris leképezési kernel

A lineáris leképezés magja a tér nulla elemének inverz képe : $f:\,V\ to U$ $U$

\ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.

$\ker f$ altere a . Mindig tartalmazza a null space elemet . Az alapvető homomorfizmus-tétel szerint a kép izomorf a hányadostérrel a kernel vonatkozásában : $V$ $V$ $f$ $V$ $f$

\mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.

Ennek megfelelően a térkép mérete megegyezik a tér és a leképezési kernel méretei közötti különbséggel, ha a méret véges: $V$

\dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,

és bármely vektor inverz képe definiálva van egy vektor hozzáadásáig a kernelből:

f^{{-1}}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\in V,~u\in U .

A kernel bármely alapját alapvető megoldási rendszernek nevezzük .

Mátrix elmélet

Bármely méretű téglalap alakú mátrix , amely mezőelemeket (különösen valós számokat ) tartalmaz, felfogható lineáris operátornak a vektorok balról mátrixszal való szorzásához: $G$ $m\szer n$ $K$ $g:{\mathbb {K}}^{n}\rightarrow {\mathbb {K}}^{m}$

g(v)=Gv,~~~v\in {\mathbb {K}}^{n}

Így a véges dimenziós lineáris terek elméletének eredményei teljes egészében a mátrixokkal való munkavégzésre vonatkoznak. Különösen a lineáris egyenletrendszer ismeretlenekkel $n$

\left\{{\begin{mátrix}a_{{11}}x_{1}+\ldots +a_{{1n}}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~ \ldots ~~\\a_{{m1}}x_{1}+\ldots +a_{{mn}}x_{n}=b_{m}.\end{mátrix}}\jobbra.

a vektor előképének megtalálásának problémájának tekinthető , a ( ) homogén egyenletrendszer megoldásának problémája pedig a leképezés magjának megtalálására redukálódik . ${\mathbf {b}}=(b_{1},\;\ldots ,\;b_{m})$ ${\mathbf {b}}={\mathbf {0}}$ $g$

Példa

Legyen egy lineáris leképezés , és: $f$ $f:{\mathbb R}^{3}\ to {\mathbb R}^{3}$

f({\vec {x)))={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{ 3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.

Ekkor a kernel egy vektoraltér:

\ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in {\mathbb R}^{3}\mid \lambda \in {\mathbb R} \jobb\}.

Csoporthomomorfizmus

Ha homomorfizmus a csoportok között , akkor normális alcsoportot alkot . $f$ $\ker f$ $A$

Gyűrűhomomorfizmusok

Ha homomorfizmus a gyűrűk között , akkor ez alkotja a gyűrű ideálját . $f$ $\ker f$ $A$

Lásd még

cokernel

Irodalom

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - 3. kiadás - Moszkva: Factorial Press, 2002. - 544 p. - 3000 példányban. — ISBN 5-88688-060-7 .