Ampère törvénye

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 16 szerkesztést igényelnek .

Ampère törvénye – az elektromos áramok kölcsönhatásának törvénye . Először André Marie Ampère szerelte be 1820 -ban egyenáramra. Az Ampère-törvényből az következik, hogy az egyik irányban áramló párhuzamos vezetők vonzzák, ellenkező irányban pedig taszítják. Az Ampère-törvényt törvénynek is nevezik, amely meghatározza azt az erőt, amellyel a mágneses tér az áramvezető kis szegmensére hat. Az erő lineárisan függ az áramerősségtől és a mágneses indukciótól is . Annak az erőnek a kifejezése , amellyel a mágneses tér egy indukciós mágneses térben elhelyezkedő áramsűrűségű vezető térfogatelemére hat, a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a következő: $B$ $d{\vec F}$ $dV$ $\vec j$ ${\vec {B}}$

d{\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV.

Ha az áram egy vékony vezetőn keresztül folyik, akkor , ahol a vezető "hosszeleme" - egy abszolút értékű vektor , amely egybeesik az árammal. Ezután az erő kifejezése átíródik a következőre: . ${\vec j}dV=Id{\vec l}$ $d{\vec l}$ $dl$ $d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}}$

Az Ampère-törvény fizikai tartalma

Az Ampère-törvény alatt olyan állítások és képletek halmazát értjük, amelyek a mágneses tér – esetleg egy másik áramvezető által létrehozott – áramvezetőre gyakorolt hatását jellemzik. A törvény meghatározza:

az áramerősségű vezető kis szakaszának egy másik kis áramú szegmensre gyakorolt hatásának ereje : $dl_{1}$ $I_1$ $dl_{2}$ $én_{2}$

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

, ahol és a vezetők hosszelemeinek sugárvektorai és , és az elem ereje ( a pontban mezőt hoz létre ) az elemre ; a mágneses állandó;

{\vec {r}}_{1}

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {l}}_{2}

d^{2}{\vec {F}}_{12}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{2}

\mu_{0}

két vezető zárt hurok kölcsönhatási ereje a következő alakú és áramokkal : $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ $én_{2}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}

, ahol és azok a sugárvektorok , amelyek a kontúrok minden pontján áthaladnak , , és az az erő, amellyel az-1 kontúr a 2-es körvonalra hat. Valójában ez az előző bekezdés kifejezésének integrálása;

{\mathbf {r}}_{1}

{\mathbf {r}}_{2}

C_{1}

C_{2}

{\mathbf {F}}_{{12}}

az az erő, amellyel a mágneses tér egy áramú vezető szegmensére (A), egy lapos szakaszára árammal (A / m) vagy egy kis térfogatára ( A / m 2 ) hat: $dl$ $én$ $dS$ $\vec{i}$ $dV$ $\vec{j}$

d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}},\qquad d{\vec {F}}={\vec {i}}dS\ alkalommal {\vec {B)),\qquad d{\vec {F}}={\vec {j}}dV\times {\vec {B}}

. Az erő irányát a keresztszorzat kiszámításának szabálya határozza meg . Modulja vezeték esetén a következő , ahol az áram iránya és az közötti szög . Az erő akkor maximális, ha a vezető merőleges a mágneses indukció vonalaira ( ). Az integráció lehetővé teszi, hogy a mező erejét az objektum egészére érje.

d{\vec F}

dF=IBdl\sin \alpha

\alpha

{\vec {B}}

{\displaystyle \alpha =90^{\circ ))

Két párhuzamos vezető esete

Az Ampère-erőt illusztráló leghíresebb példa a következő probléma. Vákuumban két végtelen párhuzamos vezető helyezkedik el egymástól távol, amelyekben az áramok és az áramok ugyanabban az irányban haladnak . Meg kell találni a vezető egységnyi hosszára ható erőt. $r$ $I_1$ $én_{2}$

A Biot-Savart-Laplace törvénynek megfelelően egy végtelen vezeték, amelynek árama egy bizonyos távolságban van, indukciós mágneses teret hoz létre. $I_1$ $r$

{\vec {B}}_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}}{r}}\, {\vec {e}}_{\varphi }

ahol a mágneses állandó , egy egységvektor egy kör mentén, amelynek szimmetriatengelye egy áramú vezeték . $\mu_0$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ $I_1$

Az Ampere-törvény szerint megtaláljuk azt az erőt, amellyel az első vezető hat a második egy kis szakaszára: $d{\vec {l))$

d{\vec {F}}_{12}=I_{2}d{\vec {l}}\times {\vec {B}}_{1}(r).

A bal kéz szabálya szerint az első vezető felé irányul (hasonlóan az első vezetőre ható erő a második vezető felé irányul). Ezért a karmesterek vonzódnak. $d{\vec {F}}_{12}$ $d{\vec {F}}_{21}$

Ennek az erőnek a modulusa ( a vezetők közötti távolság): $r$

dF_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.

Integráljuk a vezeték hosszának szakaszán (integrációs határok 0-tól ig ): $L$ $l$ $L$

F_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}\cdot L.

Ha - egységnyi hossz, akkor ez a kifejezés beállítja a kívánt kölcsönhatási erőt. $L$

A kapott képletet SI-ben használják a mágneses állandó számértékének meghatározására . Valójában az ampert , amely az egyik alapvető SI-mértékegység, úgy definiáljuk benne, mint „a változatlan áram erősségét, amely két párhuzamos, végtelen hosszúságú és jelentéktelenül kis kör keresztmetszetű, egyenes vonalú vezetéken áthaladva Az egymástól 1 méteres távolságban lévő vákuum a vezető minden 1 méter hosszú szakaszán 2⋅10 −7 Newton kölcsönhatási erőt okozna [ 1] . $\mu_0$

Így a kapott képletből és az amper definíciójából az következik, hogy a mágneses állandó egyenlő H / A²-vel vagy, ami megegyezik, pontosan H / m . $\mu_0$ $4\pi \times 10^{{-7}}$ $4\pi \times 10^{{-7}}$

Az Ampère-törvény megnyilvánulásai

Háromfázisú váltakozó áramú gumiabroncsok (vezetők) elektrodinamikai deformációja az alállomásokon rövidzárlati áramok hatására .
A sínfegyverek vezetőinek széttolása lövéskor .

Alkalmazás

Az elektrotechnikában minden olyan csomópont, ahol elektromágneses tér hatására bármely elem mozgása történik, az Ampère-törvényt kell alkalmazni. Az elektromechanikus gépek működési elve (a forgórész tekercs egy részének mozgása az állórész tekercsének egy részéhez képest ) az Ampère-törvény alkalmazásán alapul, és szinte minden műszaki szerkezetben a legelterjedtebb és legelterjedtebb egység az elektromos motor , ill. , ami szerkezetileg majdnem ugyanaz, generátor . A forgórész az Amper erő hatására forog, mivel az állórész mágneses tere befolyásolja a tekercset, mozgásba hozza azt. Bármely elektromos jármű az Amper erővel forgatja azokat a tengelyeket, amelyeken a kerekek találhatók (villamosok, elektromos autók, elektromos vonatok stb.).

Emellett a mágneses tér mozgásba hozza az elektromos zárak mechanizmusait (elektromos ajtók, tolókapuk, liftajtók). Más szóval, minden olyan eszköz, amely elektromos árammal működik és mozgó alkatrészekkel rendelkezik, az Ampère-törvény kiaknázásán alapul.

Ezenkívül sok más típusú elektrotechnikában is alkalmazható , például dinamikus fejben (hangszóróban): a hangszóróban (hangszóróban) állandó mágnest használnak a hangrezgéseket generáló membrán gerjesztésére, és egy közeli áramvezető által létrehozott elektromágneses mező, az Amper erő hat, amely a kívánt hangfrekvenciának megfelelően változik.

Is:

Elektrodinamikus plazmakompresszió ; például tokamakban , Z-pinch setups .
Elektrodinamikus préselési módszer .
Elektromágneses szivattyú

Ampererő és Newton harmadik törvénye

Legyen két vékony, és áramú , és görbe alakú vezető, amelyeket a és sugárvektorok adnak meg . $I_1$ $én_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

Ezen vezetők végtelenül kis szakaszainak kölcsönhatási erőire Newton harmadik törvénye nem teljesül. Ugyanis az első vezető elemének a második elemére ható Amper-erő nem egyenlő azzal az ellenkező előjellel felvett erővel, amely a második vezető eleméből az első elemére hat : $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})\neq -\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-I_{1}\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})

Itt és az első vezeték szakasza, illetve a második vezeték szakasza által létrehozott mező látható. Ez a tény semmiképpen sem veszélyezteti Newton dinamikáját, mivel egyenáram csak zárt áramkörben folyhat – és ezért Newton harmadik törvényének csak azokra az erőkre kell érvényesülnie, amelyekkel két zárt áramvezető vezető kölcsönhatásba lép. Az egyes elemektől eltérően a Newton-törvény zárt hurokra érvényes: $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}$ $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=-\mathbf {F} _{21}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) (I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))

ahol és az a mező, amelyet teljes egészében az első és teljes egészében a második vezeték (és nem azok külön szakaszai) hoz létre. A mezőt minden esetben a Biot-Savart-Laplace képlet segítségével találjuk meg . $\mathbf {B} _{1}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{2))$

részletesebb bemutatása

Legyen két vékony, és áramú , és görbe alakú vezető, amelyeket a és sugárvektorok adnak meg . Az egyik huzal áramelemére a másik vezeték árameleme felől ható erő a Biot-Savart-Laplace törvény szerint található: a pontban elhelyezkedő áramelem a pontban elemi mágneses teret hoz létre . $I_1$ $én_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{1} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Az Ampère-törvény szerint a pontban található áramelemre a mező oldaláról ható erő egyenlő $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

A pontban elhelyezkedő áramelem elemi mágneses teret hoz létre a pontban $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{2} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

A pontban található áramelemre a mező oldaláról ható Ampererő egyenlő $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Általános esetben önkényes és erők esetében, és még csak nem is kollineárisak, ami azt jelenti, hogy nem engedelmeskednek Newton harmadik törvényének: . ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}+\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}\neq 0$

Ez az eredmény azonban ebben az esetben nem jelenti a Newton-dinamika kudarcát. Általánosságban elmondható, hogy az egyenáram csak zárt hurokban folyhat. Ezért Newton harmadik törvénye csak azokra az erőkre vonatkozik, amelyekkel két zárt áramvezető vezeték kölcsönhatásba lép. Látható, hogy két ilyen vezető esetében teljesül Newton harmadik törvénye.

Hagyja, hogy a görbék zárva legyenek. Ekkor az áram mágneses teret hoz létre a pontban $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb { C} _{1)){\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{| \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},

ahol az átintegrálás az áram áramlási irányában történik . Az áramkörre a mező oldaláról ható ampererő egyenlő $C_{1}$ $I_1$ $\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $C_{2}$ $én_{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times {\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3))))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3} }},

ahol az átintegrálás az áram áramlási irányában történik . Az integráció sorrendje nem számít. $C_{2}$ $én_{2}$

Hasonlóképpen, az áram által létrehozott mező oldaláról ható Amper-erő az áramkörön egyenlő $\mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ $én_{2}$ $C_{1}$ $I_1$

\mathbf {F} _{21}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\ mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} ^ {2}\mathbf {F} _{21}.

Az egyenlőség egyenlő az egyenlőséggel $\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}- \mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Ennek az utolsó egyenlőségnek a bizonyítására vegye figyelembe, hogy az Amper-erő kifejezése nagyon hasonló a mágneses tér keringésének kifejezéséhez egy zárt körben, amelyben a külső pontszorzatot a keresztszorzat helyettesíti.

A Lagrange-azonosság segítségével a bizonyítandó egyenlőség bal oldalán lévő kettős vektoros szorzat a következőképpen írható fel:

[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]=\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf { r} _{1})-(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}).

Ekkor a bizonyított egyenlőség bal oldala a következő alakot veszi fel:

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}-\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^ {3}}}.

Tekintsük külön az integrált , amely a következő formában írható át: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\ oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} (\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

A belső integrál változóját megváltoztatva -ra , ahol a vektor egy zárt kontúr mentén változik , azt találjuk, hogy a belső integrál a gradiens mező körforgása egy zárt kontúr mentén. Tehát egyenlő nullával: ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1))$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} ( \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {3}}}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}(\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\ mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Ez azt jelenti, hogy a teljes kettős görbe integrál egyenlő nullával. Ebben az esetben az erő felírható: ${\mathbf {F}}_{{12}}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Az erő kifejezése levezethető az erő kifejezéséből , egyszerűen szimmetriamegfontolások alapján. Ehhez lecseréljük az indexeket: 2-t 1-re, 1-et 2-re változtatunk. Ebben az esetben az erőre a következőt írhatjuk: ${\mathbf {F}}_{{21}}$ ${\mathbf {F}}_{{12}}$ ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Most már teljesen nyilvánvaló, hogy . Ez azt jelenti, hogy az Ampère-erő teljesíti Newton harmadik törvényét zárt vezetők esetén. $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

Néhány történelmi vonatkozás

Hatásérzékelés

1820-ban Hans Christian Oersted felfedezte, hogy az áramot szállító vezeték mágneses teret hoz létre, és az iránytű tűjét eltéríti. Észrevette, hogy a mágneses tér merőleges az áramerősségre, és nem párhuzamos vele, ahogy az várható volt. Ampère, Oersted kísérletének demonstrációja által inspirálva, felfedezte, hogy két párhuzamos áramvezető vezető vonz vagy taszít, attól függően, hogy az áram azonos vagy ellentétes irányban folyik. Tehát az áram nemcsak mágneses teret hoz létre, hanem a mágneses tér is hat az áramra. Már egy héttel azután, hogy Oersted ismertette tapasztalatait, Ampère magyarázatot adott: a vezető hat a mágnesre, mert az áram sok kis zárt úton folyik a mágnesben [2] [3] .

Az erő képletének kiválasztása

Két elemi elektromos áram kölcsönhatásának törvényét, amelyet Ampère-törvényként ismernek, valójában később Grassmann javasolta (vagyis helyesebb lenne Grassmann törvényének nevezni).

Az eredeti Ampère-törvény kissé eltérő formát mutatott: a pontban található áramelem oldaláról ható erő a pontban lévő áramelemre egyenlő ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\left( 2(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\ mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}\jobbra)

A pontban elhelyezkedő aktuális elem pontjában elhelyezkedő áramelem oldaláról ható erő az erőképletből egyszerűen szimmetria-megfontolások alapján, a 2-t 1-re, 1- et 2-re cserélve megkaphatjuk . $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

Ebben az esetben , vagyis az eredeti Ampère-törvény már a differenciálforma esetében is kielégíti Newton harmadik törvényét. Ampère, miután számos kifejezést kipróbált, csak erre az egyre telepedett le. $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

Ha a (valójában nem állandó) nyitott áramok kölcsönhatási erejének kiszámítása során nem lehet beletörődni Newton harmadik törvényébe, akkor lehetőség van az eredeti Ampère-törvény használatára. A Grassmann-törvény esetében a harmadik törvény figyelmen kívül hagyásának kompenzálására egy további fizikai entitást, a mágneses teret is be kell vonni az ellenszolgáltatásba.

Bizonyítható, hogy az eredeti Ampère-törvény integrál alakjában azok az erők, amelyekkel két egyenáramú zárt vezető kölcsönhatásba lép, ugyanazok, mint a Grassmann-törvényben.

bizonyíték

Ennek bizonyítására az erőt a következő formában írjuk fel: ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }+{\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)){\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{ 1}|^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}).

Nyilvánvaló, hogy ahhoz, hogy az erő ugyanaz legyen, mint a Grassmann-törvényben, elegendő bebizonyítani, hogy a második tag nullával egyenlő. Továbbá az integrálok előjele előtt a második együttható nélküli tagot fogjuk figyelembe venni, mivel ezek az együtthatók általános esetben nem egyenlők nullával, ezért magának a kettős görbe vonalú integrálnak nullával kell egyenlőnek lennie.

Tehát jelöljük . És ezt bizonyítania kell $\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}((\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}})$ $\mathbf {P} =0$

Tegyük fel, hogy az integrációt először a kontúr mentén hajtjuk végre . Ebben az esetben lehetőség van a következő változó megváltoztatására: , ahol a vektor zárt ciklusban változik . Aztán lehet írni ${\mathbf {P}}$ $C_{2}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1))$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {\mathbf {r } }{|\mathbf {r} |^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} )-3{\frac { (\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {2}}}).

Most, amikor a kontúron keresztül integrálunk, akkor valamilyen vektorfüggvényt kapunk , amely ezután integrálódik a kontúrra . $C_{2}'$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $C_{1}$

Bebizonyosítható, hogy úgy is ábrázolható , hogy a változót mindkét gradiens átveszi . A bizonyítás triviális, elegendő a színátmenetek felvételének eljárását elvégezni. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} ),\mathrm {d} \mathbf {r } _{egy})$ $\mathbf {r}$

Továbbá a Lagrange-azonosság szerint a következőket írhatjuk:

{\begin{aligned}&\mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=\nabla (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=[\mathrm {d} \mathbf { r} ,[\nabla ,\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})]]+(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\nabla )\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})=\\&=0+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) \over \partial y}\mathrm {d} y+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial z}\mathrm {d} z=\mathrm {d} (\ mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))\\\end{igazított}}.

Itt a nulláról kiderült, hogy egy gradiens mező rotor. Az eredmény a vektorfüggvény teljes differenciája

$\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})$ . Tehát most úgy ábrázolhatjuk, mint . Ez az integrál felvehető az egyes vetületek külön integrálásával. Például integráljuk az x vetületet. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})$

P_{x}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}x(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }x).

A teljes differenciál integrálja bármely zárt hurokban egyenlő nullával: , ezért a következő formában lesz: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) )=0$ $P_{x}$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C } _{2}'}\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d} x)=\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}- \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\mathrm {d} x_{2}).

Ezúttal először a kontúr fölé kell integrálnunk . Változtassuk meg a változót: , ahol a vektor egy zárt körvonal mentén változik . Aztán lehet írni $C_{1}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2))$ $\mathbf {r}$ $C_{1}'$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'} (\mathrm {d} \mathbf {r} ,{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3))})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\mathrm {grad} ({ \frac {1}{|\mathbf {r} |}}))=0,

ahol a gradienst ismét átveszi a változót . $\mathbf {r}$

Mivel a gradiensmező zárt körvonal mentén történő keringése ismét megjelent a kifejezésben, akkor . $P_{x}=0$

Hasonlóképpen írhatjuk a fennmaradó két vetületre is:

P_{y}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}y(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (y\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }y)=0,

P_{z}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}z(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (z\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }z)=0.

Szóval . $\mathbf {P} =0$

Maxwell javasolta a két elemi vezető és az áram kölcsönhatásának törvényének legáltalánosabb formáját, amelyben a k együttható jelen van (nem határozható meg bizonyos feltételezések nélkül olyan kísérletek alapján, amelyekben az aktív áram zárt áramkört alkot) [4] :

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\frac {1}{2}}{\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4 \pi }\left({\begin{aligned}&(3-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3 ))}-3(1-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r } _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf { r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{5))}-\\&-(1+k){\frac { \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}) }{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-(1+k){\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\\\end{igazított}}\jobbra).

Elméletében Ampère úgy vette , mint Gauss , mint Grassmann és Clausius . A nem éteri elektronikus elméletekben Weber elfogadta , Riemann pedig . Ritz meghatározatlan maradt elméletében. $k=-1$ $k=+1$ $k=-1$ $k=+1$ $k$

Két zárt körvonal kölcsönhatási erejéhez standard kifejezéssel kapjuk. $C_{1}$ $C_{2}$ $k=+1$

számítási részletek

{\begin{aligned}&\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi } \left({\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r } _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}| ^{3}}}\right)=\\&={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\left({\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _ {1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2 }|^{3}}}\jobbra)\\\end{igazított}}.

Itt az első két tagot a Lagrange-azonosságnak megfelelően kombináltuk, míg a harmadik tag zárt körvonalakon integrálva nullát ad. Igazán, $C_{1}$ $C_{2}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}=\left[{\begin{aligned}&\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\\&C_{1}\rightarrow C_{1}'\\\end{aligned}}\right]=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{ |\mathbf {r} |^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{ \mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {grad} {\frac {1}{|\mathbf {r} |}},\mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Így megkapjuk az Ampère-törvény Maxwell által adott formáját:

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}.

Bár az erő mindig ugyanaz a különböző , az erők nyomatéka változhat. Például, amikor két végtelen, derékszögben keresztezett vezeték kölcsönhatásba lép, a kölcsönhatási erő nulla lesz. Ha a Grassmann-képlet segítségével kiszámítjuk az egyes vezetékekre ható erők nyomatékát, akkor egyik sem lesz egyenlő nullával (bár összesen nullával egyenlő lesz). Ha az erők nyomatékát az eredeti Ampère-törvény szerint számítjuk ki, akkor mindegyik nulla lesz. $k$

Az Ampère-törvény mint relativisztikus hatás

Az elektromos áram egy vezetőben a töltések mozgása a többi töltéshez képest. Ez a mozgás az SRT -ben hatásokhoz vezet , amelyeket a klasszikus fizikában egy külön fizikai entitás – a mágnesesség – magyaráz. Az SRT-ben ezek a hatások nem igénylik a mágnesesség bevezetését, és első közelítésben elegendő figyelembe venni a Coulomb-kölcsönhatásokat. Az SRT-n belüli Ampère-törvény leírásához egy fémvezetőt egy egyenes vonallal írnak le bizonyos lineáris sűrűségű pozitív töltésekkel és egy egyenes vonallal a mobil töltésekkel. A töltés invariáns , tehát a Lorentzi-féle hossz-összehúzódás hatása különbséget hoz létre a pozitív és negatív töltések sűrűsége között egy eredetileg semleges fémhuzalban. Ezért vonzó vagy taszító erő keletkezik két áramvezető vezeték között. [5] [6]

Jegyzetek

↑ GOST 8.417-2002. A mérések egységességét biztosító állami rendszer. A mennyiségek mértékegységei. (nem elérhető link) . Letöltve: 2012. november 7. Az eredetiből archiválva : 2012. november 10.. (határozatlan)
↑ Etienne Klein, Marc Lachieze-Rey. A Quest for Unity: A fizika kalandja . - New York: Oxford University Press, 1999. - S. 43-44 . — ISBN 0-19-512085-X .
↑ Roger G Newton. Az óraműtől a Crapshootig: A fizika története . - The Belknap Press of Harward University Press, 2007. - 137. o . - ISBN 978-0-674-03487-7 .
↑ Maxwell, James Clerk. Értekezés az elektromosságról és a mágnesességről. - Oxford, 1904. - S. 173.
↑ 1. előadás. Magnetosztatika. A mágneses tér relativisztikus természete. // Szentpétervári Nagy Péter Polytechnic University (SPbPU) . Letöltve: 2018. december 27. Az eredetiből archiválva : 2018. december 28.. (határozatlan)
↑ Saveljev I. V. Általános fizika kurzus: Proc. juttatás. 3 kötetben T. 2. Elektromosság és mágnesesség. Hullámok. Optika. - 3. kiadás, Rev. — M.: Nauka. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1988. - 496 p. 120. o