Krylov funkciók

A Krylov -függvények ( Krylov-Duncan függvények [1] ) négy függvényből álló rendszer, amelyek egy differenciálegyenlet általános megoldását reprezentálják :

${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=ay$ .

(egy)

Az (1) at egyenlet általános megoldását négy függvény lineáris kombinációjaként fejezzük ki : $a\geq 0$

y(x)=C_{1}\cdot \operátornév {K} _{1}(\beta x)+C_{2}\cdot \operátornév {K} _{2}(\beta x)+ C_{3}\cdot \operátornév {K} _{3}(\beta x)+C_{4}\cdot \operátornév {K} _{4}(\beta x)

ahol . $\beta ={\sqrt[{4}]{a))$

Általában a , , és függvények , , , , de a rugalmasságelméleti problémákban speciális alakú , , , függvényeket használnak, amelyeket Krylov-függvényeknek neveznek A. N. Krylov matematikus tiszteletére , aki ezeket a függvényeket alkalmazta a hajlítás leírására. rugalmas alapon fekvő gerenda [2] . Néha , , , [3] szimbólumokkal jelölik . $\operatorname {K} _{1}(x)$ $\operatorname {K} _{2}(x)$ $\operatorname {K} _{3}(x)$ $\operatorname {K} _{4}(x)$ $e^{x}$ $e^{-x}$ $\sin x$ $\cos x$ $\operatorname {K} _{1}(x)$ $\operatorname {K} _{2}(x)$ $\operatorname {K} _{3}(x)$ $\operatorname {K} _{4}(x)$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {S} (x)}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {T} (x)}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {U} (x)}$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {V} (x)}$

Ezeket egymástól függetlenül W. J. Duncan angol tudós vezette be [4] .

Definíció

A Krylov-függvényeket a következőképpen fejezzük ki: [3]

\operatorname {K} _{1}(x)={\frac {1}{2}}(\operátornév {ch} x+\cos x)

\operatorname {K} _{2}(x)={\frac {1}{2}}(\operátornév {sh} x+\sin x)

\operatorname {K} _{3}(x)={\frac {1}{2}}(\operátornév {ch} x-\cos x)

\operatorname {K} _{4}(x)={\frac {1}{2}}(\operátornév {sh} x-\sin x)

A Krylov-függvények fő tulajdonsága, hogy bármelyik deriváltja az előzőt adja:

\operátornév {K} _{1}(x)=\operátornév {K} _{2}'(x)=\operátornév {K} _{3}''(x)=\operátornév {K} _{4}'''(x)=\operátornév {K} _{1}^{IV}(x)

Ezenkívül a következő kezdeti feltételek teljesülnek: -nél az első függvény egyenlő 1-gyel, és az összes többi egyenlő 0-val: $x=0$

\operatorname {K} _{1}(0)=1

, .

\operátornév {K} _{2}(0)=\operátornév {K} _{3}(0)=\operátornév {K} _{4}(0)=0

Krylov-Vlasov függvények

Amikor , az (1) egyenlet megoldását a függvényekkel fejezzük ki $a<0$

\operátornév {\Phi } _{1}(x)=\operátornév {ch} x\cdot \cos x

\operátornév {\Phi} _{2}(x)=\operátornév {sh} x\cdot \sin x

\operátornév {\Phi } _{3}(x)=\operátornév {sh} x\cdot \cos x

\operátornév {\Phi } _{4}(x)=\operátornév {ch} x\cdot \sin x

amelyeket Krylov-Vlasov-funkcióknak [5] neveznek V.Z. tiszteletére. Vlaszov . Az (1) at egyenlet általános megoldása négy függvény lineáris kombinációja (at ), ahol . $a<0$ $\operatorname {\Phi } _{i}(\beta x)$ $i=1,2,3,4$ $\beta ={\sqrt[{4}]{-a/4))$

A problémák megoldása során gyakrabban használják a Krylov-Vlasov függvények különféle kombinációit, amelyeket Krylov függvényeknek is neveznek: [6] [7]

\operátornév {V} _{1}(x)=\operátornév {ch} x\cdot \cos x=\operátornév {\Phi } _{1}(x)

\operatorname {V} _{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x+\operatorname {sh} x\cdot \cos x\right)={\frac {1}{2}}\left(\operátornév {\Phi } _{4}(x)+\operátornév {\Phi } _{3}(x)\jobb)

\operatorname {V} _{3}(x)={\frac {1}{2}}\operátornév {sh} x\cdot \sin x={\frac {1}{2}}\operátornév {\Phi }_{2}(x)

\operatorname {V} _{4}(x)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x-\operatorname {sh} x\cdot \ cos x\right)={\frac {1}{4}}\left(\operátornév {\Phi } _{4}(x)-\operátornév {\Phi } _{3}(x)\jobb)

A Krylov-függvények fő tulajdonságai ebben az esetben szinte megmaradnak:

\operátornév {V} _{1}(x)=\operátornév {V} _{2}'(x)=\operátornév {V} _{3}''(x)=\operátornév {V} _{4}'''(x)=-{\frac {1}{4}}\operátornév {V} _{1}^{IV}(x)

\operatorname {V} _{1}(0)=1

, .

\operátornév {V} _{2}(0)=\operátornév {V} _{3}(0)=\operátornév {V} _{4}(0)=0

Lásd még

Jegyzetek

↑ I. A. Karnovsky, O. Lebed. 14.4.3 Krylov-Duncan módszer // A szerkezetelemzés fejlett módszerei . - 201. - S. 543-545. — 593 p. Archiválva : 2017. április 19. a Wayback Machine -nál
↑ Yu.I. Vinogradov. Cauchy–Krylov függvények a lemezek és héjak szilárdsági számításaiban . - 2013. - 8. sz . - S. 15-19 . Archiválva az eredetiből 2017. február 1-jén.
↑ 1 2 Biderman V.L. A mechanikai rezgések elmélete . - M . : Felsőiskola, 1980. - S. 150. - 408 p. Archivált 2013. április 13-án a Wayback Machine -nél Archivált másolat (hivatkozás nem érhető el) . Letöltve: 2011. december 10. Az eredetiből archiválva : 2013. április 13.. (határozatlan)
↑ Duncan, WJ A folytonos sugár szabad és erő oszcillációi a befogadási módszerrel // Philosophical Magazine . - 1943. - 1. évf. 34 , sz. 228 .
↑ Freidin A.S. A ragasztós kötések szilárdsága és tartóssága . - 2. revízió. és további .. - M . : Chemistry, 1981. - S. 96-97. — 272 p.
↑ Boyarshinov S.V. §3. Rövid tengelyszimmetrikus terhelésű hengeres héjak // A gépek szerkezeti mechanikájának alapjai . - M . : Mashinostroenie, 1973. - S. 326. - 456 p.
↑ Kolosova G.S. A. N. Krylov függvényeinek alkalmazása szerkezeti mechanikai problémák megoldására // Egyedi épületek és szerkezetek építése. - 2013. Archiválva : 2017. február 2.

Irodalom

Krylov A.N. A rugalmas alapon fekvő gerendák számításáról. L.: AN SSSR, 1931. 154 p.