Tubus képlet

A csőképlet vagy a Weyl-képlet egy részsokaság térfogat-szomszédságának kifejezése polinomként -ben . Hermann Weil javaslata . $r$ $r$

Megfogalmazás

Legyen egy zárt dimenziós részsokaság a -dimenziós euklideszi térben rendre kóddimenzió . $M$ $m$ $n$ $k=nm$ $M$

Jelölje -szomszédsággal . Ezután minden kellően kicsi pozitív érték esetén az egyenlőség $Úr$ $r$ $M$ $r$

V(M_{r})=\omega _{k}\cdot r^{k}\cdot \sum _{m\geq 2\cdot i\geq 0}V_{i}(M)\cdot {\frac {r^{2\cdot i}}{k\cdot (k+2)\cdots (k+2\cdot i)))),

ahol a térfogat , az egységnyi golyó térfogata a -dimenziós euklideszi térben. és $V(M_{r})$ $Úr$ $\omega_{k}$ $k$

V_{i}(M)=\int \limits _{M}p_{i}(\mathrm {Rm} )

valamilyen homogén fokszámú polinomra ; itt a görbületi tenzort jelöli . $p_{i}$ $én$ $\mathrm {Rm}$

A kifejezés az úgynevezett Lipschitz-Killing görbület , amely arányos a görbülettenzor átlagos Pfaffiánjával az érintőtér összes -dimenziós alterében. $p_{i}(\mathrm {Rm} )$ $(2\cdot i)$

Jegyzetek

A legalacsonyabb nem nulla együttható a -dimenziós térfogat . $V_{0}(M)$ $m$ $M$
Ha a méret páros , akkor $M$ $m=2\cdot k$ $V_{k}=\chi (M),$

hol van az Euler-karakterisztika .

\chi (M),

M

Következmények

Egy egyszerű zárt sima görbe -szomszédságának térfogatát -dimenziós euklideszi térben kicsikre a képlet fejezi ki $r$ ${\displaystyle \gamma _{r))$ $\gamma$ $n$ $r$ $V(\gamma _{r})=L(\gamma )\cdot r^{n-1},$

ahol a hosszt jelöli .

L(\gamma )

\gamma

Sima zárt felületekhez 3 dimenziós euklideszi térben az egyenlőség $M$ $V(M_{r})=S(M)\cdot r+{\tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3}.$
Ha egy eucidiai tér két részsokasága izometrikus, akkor a szomszédságuk térfogata minden kis pozitív esetén azonos . $r$ $r$

Változatok és általánosítások

A hiperfelületek félcsöves képlete egy egyoldalú szomszédság térfogatát fejezi ki , egyben polinom is -ben , de nem minden együttható függ a belső görbülettől. Különösen a háromdimenziós térben lévő felületek esetében a félcső képlet formát ölt $r$ ${\displaystyle M_{r}^{+))$ $r$ $V(M_{r}^{+})=S(M)\cdot r+{\biggl [}\int \limits _{M}H{\biggr ]}\cdot r^{2}+{ \tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3},$

ahol az átlagos görbületet jelöli .

H

Lásd még

Irodalom

Hermann Weyl. On the Volume of Tubes (angol) // American Journal of Mathematics. - 1939. - 1. évf. 61 , sz. 2 . - P. 461-472 .
Simon Willerton, Intrinsic Volumes és Weyl's Tube Formula