Orr-Sommerfeld egyenlet

Az Orr-Sommerfeld egyenlet egy hidrodinamikai sajátérték - probléma egyenlete, amely egy viszkózus összenyomhatatlan folyadék síkpárhuzamos áramlásának stabilitását írja le tetszőleges peremfeltételekkel és sebességprofillal. Ez a hidrodinamikai stabilitás elméletének egyik alapegyenlete .

Az egyenletet először William McFadden Orr és Arnold Sommerfeld munkáiban publikálták 1907-1908 között.

Problémafelvetés

Az Orr-Sommerfeld egyenletet a Navier-Stokes egyenletekből kapjuk egy álló áramlás kis zavaraira. Feltételezve, hogy az áramlási sebesség a következőképpen ábrázolható

{\vec {v}}=U(z){\vec {e}}_{x}+{\vec {v}}'(x,z),

ahol a stacionárius áramlási profil, át lehet térni a linearizált Navier-Stokes egyenletekre a perturbációkra, amelyek megoldásokat engednek meg haladó hullámok formájában , ahol a perturbációk hullámszáma a tengely mentén és terjedésük sebessége. $U(z)$ ${\vec {v))'\sim \exp(ik(x-ct))$ $k$ $x$ $c$

A nyomást és a perturbációs sebesség vízszintes komponensét az egyenletekből közvetlenül vagy az áramlási függvényre átlépve egymás után kizárva a rendszert a függőleges komponens, a sebességpotenciál , vagy az áramlásfüggvény egyenletére hozhatjuk , függetlenül a választotttól. átalakítások:

(Uc)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}-k^{2}\varphi \right)-{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\varphi ={\frac {1}{ik\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi } {\partial z^{4))}-2k^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}+k^{4}\varphi \right) ,

hol van a dimenzió nélküli Reynolds-szám . $\mathrm{Re}$

Ha a perturbációkat az alakba írjuk , ahol a perturbációk növekménye (növekedési sebessége), az egyenlet kissé eltérő formáját kaphatjuk: ${\vec {v))'\sim \exp(ikx+\lambda t)$ $\lambda$

(\lambda +ikU)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}-k^{2}\varphi \right)-ik{\ frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2))}\varphi ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4} \varphi }{\partial z^{4))}-2k^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}+k^{4}\varphi \jobb).

Az egyenlet kiegészül a problémának megfelelő perturbációk peremfeltételeivel. Például egy két tömör falú csatorna áramlásánál a következőket kell végrehajtani rajtuk:

\varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0,

ha a perturbációs sebesség függőleges komponensét vagy a sebességmező potenciálját értjük , ill $\varphi$

\varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=0,

ha a folyam függvénye. $\varphi$

A kapott határérték-probléma sajátértéke a perturbáció terjedési sebessége , amely a hullámszámtól és a Reynolds-számtól függ. Általános esetben komplex számról van szó , és ha a sebesség képzeletbeli része pozitívnak bizonyul, ez a perturbációk exponenciális növekedéséhez vezet az időben, és ennek megfelelően a stacionárius áramlás és az átmenet stabilitásának elvesztéséhez. lamináristól a turbulens áramlásig . $c$

Az egyenlet megoldásai

Általánosságban elmondható, hogy ez az egyenlet még a legegyszerűbb sebességprofilok, például a Poiseuille-áramlás esetében sem oldható meg analitikusan. Pontos megoldást csak a Couette áramlásra kaphatunk (lásd alább). Tetszőleges áramlásokhoz, aszimptotikus módszerekhez, spektrális módszerekhez ( kollokációs módszer , Galerkin-módszer stb.), határérték-problémák numerikus megoldására specializált algoritmusok, mint például a felvételi módszer vagy a differenciális sweep módszer , vagy a fejlesztés közvetlen numerikus szimulációja . áramlási instabilitást használnak.

A Couette-áramlás stabilitásának elemzése

Lásd még

Irodalom

Orr, W. M'F. (1907). „A folyadék egyenletes mozgásának stabilitása vagy instabilitása. I. rész". Proceedings of the Royal Irish Academy. A27:9-68
Orr, W. M'F. (1907). „A folyadék egyenletes mozgásának stabilitása vagy instabilitása. II. rész". Proceedings of the Royal Irish Academy. A27:69-138
Sommerfeld, A. (1908). "Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen". A 4. Nemzetközi Matematikus Kongresszus előadásai III. Róma. pp. 116-124
Lin Chia Chiao . A hidrodinamikai stabilitás elmélete. Moszkva: Külföldi irodalom, 1958.

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai