Cérna rövidítése

A rövidülő áramlás egy olyan folyamat, amely egy síkon egy sima görbét változtat úgy, hogy a pontjait a görbülettel megegyező sebességgel a görbére merőlegesen mozgatja .

A lerövidülő áramlást elsősorban a geometriai áramlás legegyszerűbb példájaként tanulmányozzák , különösen lehetővé teszi a Ricci-áramlással és az átlagos görbületű áramlással való munka technikájának kidolgozását .

Egyenlet

Az egyparaméteres görbecsalád megoldást jelent az áramlás lerövidítésére, ha a paraméter bármely értékére rendelkezünk ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\tau$

{\frac {\partial \gamma _{t}(\tau )}{\partial t))=\kappa _{t}(\tau )\cdot n_{t}(\tau ),

ahol a görbület a görbe előjelével a pontban , és a görbe egységnyi normálvektora a pontban . $\kappa _{t}(\tau )$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\gamma _{t}(\tau )$ $n_{t}(\tau )$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $\gamma _{t}(\tau )$

Tulajdonságok

Ha a kezdeti görbe egyszerű és zárt, akkor a lerövidülő áramlás hatására az is marad.
Egyszerű zárt görbe esetén a lerövidülő áramlás a maximális intervallumon van meghatározva . $\gamma _{0}$ ${\displaystyle \gamma _{t))$ $t\in [0,T)$
- A görbe pontban összeesik. $t\to T$ ${\displaystyle \gamma _{t))$
A görbe által határolt terület állandó sebességgel csökken. ${\frac {dS}{dt}}=2\cdot \pi .$
- Konkrétan egy pontra való összeesés pillanatát teljesen meghatározza a görbe által határolt terület: . $T={\tfrac {S_{0}}{2\cdot \pi }}$
Ha az eredeti görbe nem konvex, akkor maximális abszolút görbülete monoton csökken, amíg konvex lesz.
Konvex görbe esetén az izoperimetrikus arány csökken, és mielőtt a szingularitási pontban eltűnne, a görbe kör alakúvá válik. [egy]
Két nem metsző egyszerű sima zárt görbe addig nem metszik egymást, amíg az egyik egy pontba nem omlik.
A kör az egyetlen egyszerű zárt görbe, amely megtartja alakját az áramlásban.
- Egyes önmetsző görbék , valamint a végtelen hosszúságú görbék megtartják alakjukat.

Alkalmazások

Egy gömbön lerövidülő áramlás az Arnold -probléma egyik bizonyítéka, hogy legalább négy inflexiós pont létezik minden olyan sima görbére, amely egy gömböt egyenlő területű korongokra vág. [2]

Jegyzetek

↑ Gage, ME (1984), "A görbe rövidítése a konvex görbéket kör alakúvá teszi", Inventiones Mathematicae 76 (2): 357-364, doi: 10.1007/BF01388602
↑ Angenent, Sigurd. "Inflexiós pontok, extatikus pontok és görberövidítés." Hamiltoni rendszerek három vagy több szabadságfokkal. Springer Hollandia, 1999. 3-10.