Folyamatosság Scott szerint

A kontinuitás Scott szerint a részlegesen rendezett halmazok feletti függvények tulajdonsága , amely a részleges sorrendű relációhoz képest a pontos felső korlát megőrzésében fejeződik ki .

A Scott-topológia egy teljes rácson vagy általánosabban egy teljes, részben rendezett halmazon átívelő struktúra , amelyben a felső halmazok nyitottnak tekinthetők , amelyek nem érhetők el közvetlen kapcsolatok számára, vagy ezzel egyenértékű topológia, amelyen belül a részlegesen rendezett halmazok felett funkcionálnak, amelyek megőrzik a pontos felső határ , folytonosak [1] .

A fogalmakat Dana Scott dolgozta ki az 1970 -es években , és nekik köszönhetően készült el a tipizálatlan λ-kalkulus és a denotációs szemantika első konzisztens modellje . Különösen az alkalmazás és a curry függvények folyamatosak Scott [2] értelmében .

Definíciók

Ha és részlegesen rendezett halmazok, akkor a köztük lévő függvény Scott folytonos , ha bármely irányított részhalmaznak van képének legkisebb felső korlátja , és teljesül a következő feltétel : . $P$ $K$ $f\colon P\to Q$ $D\subseteq P$ $\sup f(D)$ $\sup f(D)=f(\sup D)$

A Scott-topológiát egy teljes poszeten úgy vezetjük be, hogy meghatározunk egy nyílt halmazt , amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $\langle D,\sqsubseteq \rangle$ $O$

a következőkből ; _ $x\in O$ $x\sqsubseteq y$ $y\in O$
ha , hol és irányított , akkor [3] . $\bigqcup X\in O$ $X\subseteq D$ $x$ $X\cap O\neq \varnothing$

Scott topológiáját először a teljes rácsokra vezették be [4] , majd általánosították teljes, részben rendezett halmazokra [3] .

Azt a kategóriát , amelynek objektumai teljes, részlegesen rendezett halmazok, és amelyek morfizmusai folyamatos leképezések Scott-i értelemben, jelöli . ${\mathsf {CPO}}$

Tulajdonságok

A Scott-folytonos függvények mindig monotonok a részleges sorrendű relációhoz képest .

Egy részlegesen rendezett halmaz egy részhalmaza akkor és csak akkor zárt a Scott-topológiában, ha alsó halmaz , és az összes részhalmaza közül a legkisebb felső korlátot tartalmazza [5] .

A Scott-topológiával felruházott teljes, részben rendezett halmaz mindig T 0 - tér , és csak akkor Hausdorff -tér, ha a sorrendi reláció triviális [5] .

Bármely Scott-folyamatos függvényre, amely egy teljes posetet önmagára képez le, érvényesül Kleene tétele , amely szerint minden ilyen leképezésnek van egy egyedi legkisebb fix pontja . Ezenkívül a Scott-folytonos függvények halmazán meghatározott leképezés, amely minden függvényre visszaadja a fix pontjának ( ) értékét, maga is Scott-folytonos [6] . $\mathbf {Javítás}$ $f\colon D\to D$ $\mathbf {Javítás} (f)=x\Leftrightarrow f(x)=x$

A kategória Descartes zárt [7] . ${\mathsf {CPO}}$

Analógok

A Scott topológiájához hasonló tulajdonságokkal rendelkező konstrukció a Jurij Ershov által 1975-ben kifejlesztett -terek kategóriája [8] – ez a λ-számítás konzisztens modelljének megalkotására is használható. Ennek előnyeként megjegyzendő [9] , hogy a -terek kategóriája derékszögű zárt, minden benne lévő objektum egy topológiai tér, a szorzaton lévő topológia a faktorok topológiáinak szorzata, a topológia pedig a térben. függvények pontszerű konvergencia topológiájának bizonyulnak . A Scott-topológia nem rendelkezik ilyen kényelmes tulajdonságokkal; különösen a Scott-topológiák szorzata teljes, részben rendezett halmazokon általános esetben nem egy Scott-topológia halmazok szorzatán. $f_0$ $f_0$

Jegyzetek

↑ Barendregt, 1985 , 1.2.6. tétel, p. 23.
↑ Barendregt, 1985 , Tételek 1.2.13, 1.2.14, p. 25.
↑ 1 2 Barendregt, 1985 , p. 24.
↑ Scott, 1972 .
↑ 1 2 Abramsky, 1995 .
↑ Barendregt, 1985 , 1.2.17. tétel, p. 25-26.
↑ Barendregt, 1985 , 1.2.16. tétel, p. 25.
↑ Ershov, Jurij . Számozáselmélet. — M .: Nauka , 1977. — 416 p.
↑ Barendregt, 1985 , p. 22.

Irodalom

Abramsky, Sámson és Jung, Achim. Domain Theory // Szemantikai struktúrák. — Logika kézikönyve a számítástechnikában. - Oxford : Oxford University Press , 1995. - V. 3. - 512 p. — ISBN 978-0198537625 .
Barendregt, Henk . Lambda kalkulus. Szintaxisa és szemantikája = The Lambda Calculus. Szintaxisa és szemantikája. — M .: Mir , 1985. — 606 p. - 4800 példány. (Orosz)
Scott, Dana . Folyamatos rácsok (angol) // Lecture Notes in Mathematics . - 1972. - 1. évf. 274 . — P. 97–136 . - doi : 10.1007/BFb0073967 .
Vickers, Steven. Topológia logikán keresztül. - Cambridge : Cambridge University Press , 1989. - 206 p. - ISBN 0-521-36062-5 .