Szörf elmélet

A szingularitáselmélet és a differenciáltopológia határán Cerf elmélete sima, valós értékű függvénycsaládokat vizsgál

f\colon M\to \mathbb {R}

egy sima sokaságon , azok tipikus szingularitásai és az alterek topológiája, amelyet ezek a szingularitások a függvények terének altereiként határoznak meg. Az elmélet Jaune Cerf nevéhez fűződik , aki az 1960-as évek végén kezdte el kidolgozni az elméletet. $M$

Példa

Marston Morse bebizonyította, hogy ha kompakt, akkor minden gördülékenyen működik $M$

f\colon M\to \mathbb {R}

a Morse függvénnyel közelíthető . Így sok célból tetszőleges függvények helyettesíthetők Morse-függvényekkel. $M$

A következő lépésben feltehetjük a kérdést: "Ha van egy 1-paraméteres függvénycsaládja, amely Morse-függvényekkel kezdődik és végződik, biztosak lehetünk abban, hogy az egész család Morse-függvényekből áll?" Általában a válasz nem . Vegyük például a családot

f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx

1 paraméteres függvénycsaládként a -n . Ebben a pillanatban $M=\mathbb {R}$

t=-1

a függvénynek nincsenek kritikus pontjai, és jelenleg

t=1

a függvény egy Morse-függvény két kritikus ponttal

x=\pm 1

Cerf kimutatta, hogy két Morse-függvény közötti 1-paraméteres függvénycsalád közelíthető egy Morse-függvénycsaláddal, csak véges számú időpontban. A degeneráltság a kritikus pontok megjelenésében/eltűnésében nyilvánul meg, mint a fenti példában.

Végtelen dimenziós tér köteg

Térjünk vissza arra az általános esetre, amikor egy kompakt elosztó. Jelölje a Morse-függvények terét $M$ $\operatorname {Morse} (M)$

f\colon M\to \mathbb {R} \,

a sima függvények terét jelöli $\operatorname {Func} (M)$

f\colon M\to \mathbb {R}

Morse ezt bebizonyította

\operatorname {Morse} (M)\subset \operatorname {Func} (M)

nyitott és sűrű a topológiában . $C^\infty$

Van egy intuitív analógia. Tekintsük a Morse-függvényeket maximális méretű nyitott szálnak a kötegben (nem állítjuk, hogy létezik ilyen köteg, de feltételezzük, hogy igen). Figyeljük meg, hogy a szálterekben a 0 kóddimenziójú nyitott szál nyitott és sűrű. A jelölés egyszerűsítése érdekében megfordítjuk a kötegek száltérben való indexelésére vonatkozó konvenciókat, és a nyitott réteget nem a mérete, hanem a kodimenziója alapján indexeljük. Ez kényelmesebb, mivel végtelen dimenziós, ha nem véges halmaz. Feltételezzük, hogy a tér 0 kóddimenziójú nyitott rétege , azaz . Rétegzett térben gyakran leválasztják. Az 1-es kóddimenziójú réteg lényeges jellemzője, hogy bármely -ben induló és -ben végződő út közelíthető egy véges számú pontban merőlegesen metsző úttal, amely nem metszi egymást . $\operatorname {Func} (M)$ $\operatorname {Func} (M)$ $M$ $\operatorname {Func} (M)$ $\operatorname {Morse} (M)$ $\operátornév {Func} (M)^{0}=\operátornév {Morse} (M)$ $x$ $X^{0}$ $X^{1}$ $x$ $X^{0}$ $X^{1}$ ${\displaystyle X^{i))$ $i>1$

Ekkor Cerf elmélete egy olyan elmélet, amely pozitív kodimenziójú rétegeket vizsgál, azaz -re . Mikor $\operatorname {Func} (M)$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)^{i))$ $i>0$

f_{t}(x)=x^{3}-tx

csak a függvény nem Morse függvény és $t=0$

{\displaystyle f_{0}(x)=x^{3))

van egy köbös degenerált kritikus pontja , amely megfelel egy szingularitás megjelenésének/eltűnésének.

Az egyetlen paraméter (idő), a tétel kijelentése

A Morse-tétel kimondja, hogy ha egy Morse-függvény, akkor a kritikus pont közelében konjugált az alak függvényéhez $f\colon M\to \mathbb {R}$ $p$ $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2} x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

ahol . ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\))$

Cerf tétele egy 1 paraméteres családra megállapítja a kodimenziós szál lényeges tulajdonságát .

Nevezetesen, ha egy 1-paraméteres sima függvénycsalád c -n és Morse-függvények, akkor létezik egy sima 1-paraméteres család , amely egyenletesen közel van a függvények intopológiájához . Sőt, egyáltalán vannak Morse-függvények, csak véges számú pont. Azokon a pontokon, ahol a függvény nem Morse-függvény, a függvénynek csak egy degenerált kritikus pontja van , és ennek közelében a család konjugált a családdal $f_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ $M$ $t\in [0,1]$ ${\displaystyle f_{0},f_{1))$ $F_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1))$ $F$ $f$ $C^k$ $M\times [0,1]\to \mathbb {R}$ $F_t$ $p$ $F_t$

g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1 }+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}

ahol . Ha , akkor ez egy 1 paraméteres függvénycsalád lesz, amelyben két kritikus pont jön létre (as ) növekedése , és ehhez egy 1 paraméteres család lesz, amelyben két kritikus pont eltűnik. $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]$ $\epsilon _{1}=-1$ $t$ $\epsilon _{1}=1$

Eredet

A darabonként lineáris - Schoenflies problémát JW Alexander megoldotta- ben. Bizonyítását Morse és Bayad [1] adaptálta a sima esetre. A lényeges tulajdonságot Cerf használta annak bizonyítására, hogy bármely orientációmegőrző diffeomorfizmus izotóp az azonossághoz [2] , amelyet Schoenflies tételének 1-paraméteres kiterjesztésének tekintünk. A következménytakkoriban széles körben használták a differenciáltopológiában. A lényeges tulajdonságot később Cerf használta fel a pszeudoizotópia tétel [3] bizonyítására többdimenziós egyszerűen összekapcsolt sokaságokra. A bizonyítás a h-kobordizmus-tétel Smale-féle bizonyításának 1-paraméteres kiterjesztése (Morse, valamint Milnor [4] és Cerf-Gramain-Maurin [5] átírta Smale bizonyítását a funkcionális koncepció szempontjából, a Tom). $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $S^{3}$ $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ $\Gamma _{4}=0$

Cerf bizonyítása Tom és Mather [6] munkáján alapul . Tom és Mather munkásságának hasznos modern áttekintése Glubitsky és Guilman könyve [7] .

Alkalmazások

A fenti alkalmazások mellett Robion Kirby a Cerf elméletét használta kulcsfontosságú lépésként a Kirby-számítás igazolásában .

Általánosítás

A sima leképezések terének végtelen kóddimenziójú alterének komplemens kötegét végül Sergeraer fejlesztette ki [8] . ${\displaystyle \{f\colon M\to \mathbb {R} \))$

Az 1970-es években a nem egyszerűen összekapcsolt sokaságok pszeudoizotópiáinak osztályozási problémáját Hatcher és Wagoner [9] oldotta meg , akik felfedezték az algebrai destrukciókat $K_{i}$ ( ) és ( ), valamint Kiyoshi Igusa, aki a destrukciókat fedezte fel . hasonló jellegű a ( ) -n [10] . $\pi _{1}M$ $i=2$ $\pi _{2}M$ $i=1$ $\pi _{1}M$ $i=3$

Jegyzetek

↑ Morse, Baiada, 1953 , p. 142–165.
↑ Cerf, 1968 .
↑ Cerf, 1970 , p. 5–173.
↑ Milnor, 1965 .
↑ Cerf, Gramain, 1968 .
↑ Mather, 1969 .
↑ Golubitsky, Guillemin, 1973 .
↑ Sergeraert, 1972 , p. 599–660.
↑ Hatcher, Wagoner, 1973 .
↑ Igusa, 1988 , p. vi+355.

Irodalom

Marston Morse , Emilio Baiada A Schoenflies-problémához kapcsolódó homotópia és homológia // Annals of Mathematics . - 1953. - T. 58 . – S. 142–165 . - doi : 10.2307/1969825 .
Mather J. A stabil csírák osztályozása R-algebrák szerint // Publ. Math. IHES. – 1969.
Golubitsky M., Guillemin V. Stable Mappings and Their Singularities. - Springer-Verlag, 1973. - V. 14. - (Matematika érettségi szövegek).
Jean Cerf. Sur les difféomorphismes de la sphère de dimension trois ( ). - Berlin-New York: Springer-Verlag, 1968. - V. 53. - (Matematikai előadásjegyzetek). $\Gamma _{4}=0$
Jean Cerf. La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1970. - T. 39 . – S. 5–173 .
Milnor J. Előadások a h-kobordizmus tételről, L.Siebenmann és J.Sondow jegyzetei. — Princetoni matematika. Jegyzetek, 1965.
Jean Cerf, Andre Gramain. Le theoreme du h-cobordisme (Smale) . – Ecole Normale Superieure, 1968.
Sergeraert F. Un theoreme de fonctions implicites sur bizonyos espaces de Fréchet et quelques applications // Ann. sci. Ecole Standard. Sup .. - 1972. - V. 5 , sz. 4 .
Allen Hatcher, John Wagoner. A kompakt elosztók pszeudoizotópiái // Asterisque. - Párizs: Société Mathematique de France, 1973. - 1. évf. 6 .
Igusa K. Stabilitási tétel sima pszeudoizotópiákhoz. K-elmélet 2. - 1988. - Issue. 1-2 .