Egyszerű modul

A gyűrűelméletben egy egyszerű modul (más néven "irreducibilis modul") egy R gyűrűn  egy olyan modul R felett , amelynek nincsenek nem nullától eltérő megfelelő részmoduljai . Ennek megfelelően egy modul akkor és csak akkor egyszerű, ha az egyik eleme által generált ciklikus modul (egy nem nulla elem) egybeesik a teljes modullal. Az egyszerű modulok véges hosszúságú modulok felépítésére szolgálnak , ebben az értelemben hasonlítanak az egyszerű csoportokhoz .

Példák

• Egy egyszerű Z -modul egy Abel-csoport , amelynek nincsenek alcsoportjai, azaz egy Z p prímrendű csoport .
• Az R gyűrű ideális I -je akkor és csak akkor egyszerű modulként ezen a gyűrűn, ha ez az ideál minimális (nem tartalmaz más ideált, mint nulla). Ennek megfelelően az R/I faktorgyűrű akkor és csak akkor egyszerű, ha az ideális I maximális .
• Bármely egyszerű R -modul izomorf egy R/m faktormodulhoz, ahol m az R gyűrű valamilyen maximális ideálja . [1] Valójában egy egyszerű modult generál egy nem nulla x elem , azaz van egy szürjektív homomorfizmus R → M , amely r -t küld rx - nek . Ennek a homomorfizmusnak a magja egy ideál az R gyűrűben , hátra van a homomorfizmus tétel alkalmazása. Az előző tulajdonság azt mutatja, hogy ez az ideális maximális.
• Ha k  egy mező és G  egy csoport, akkor ennek a csoportnak a reprezentációi pontosan bal modulok a k csoportgyűrű felett [ G ]. Az egyszerű modulokat ebben az összefüggésben irreducibilis reprezentációknak nevezzük . A reprezentációelmélet fő célja  egy csoport összes irreducibilis reprezentációjának leírása.

Tulajdonságok

Minden prímmodul felbonthatatlan , fordítva általában nem igaz. Egy egyszerű modulus is ciklikus .

Legyen M és N  modulok ugyanazon a gyűrűn, és f  : M → N  egy modulhomomorfizmus. Ha M egyszerű, akkor f nulla vagy injektív . Valójában a homomorfizmus magjának egy részmodulnak kell lennie. Ha N is egyszerű, akkor f vagy nulla, vagy izomorfizmus. Ezért egy prímmodul endomorfizmus gyűrűje osztásgyűrű . Ezt az eredményt Schur-lemmának nevezik .

Jacobson-féle sűrűségtétel

Az egyszerű modulok elméletének egyik fontos vívmánya Jacobson sűrűségtétele (1945). Azt állítja

Legyen U egy egyszerű R-modul, és jelölje D = End R (U). Legyen A tetszőleges D-lineáris operátor U-n, X pedig U véges D-lineárisan független részhalmaza. Ekkor létezik az R gyűrűnek olyan r eleme, hogy x A = x r minden x-re X-ben. [2]

Más szavakkal, bármely nem nulla egyszerű gyűrű minimális jobb ideálokkal izomorf valamilyen vektortér véges rangú lineáris transzformációinak sűrű gyűrűjével valamely test felett [3] .

Konkrétan bármely primitív gyűrű D -lineáris operátorok gyűrűjének tekinthető bizonyos térben.

A sűrűségtétel azt a Wedderburn-tételt foglalja magában, hogy egy jobb oldali artini egyszerű gyűrű izomorf egy n x n mátrixgyűrűvel egy osztásgyűrű felett . Ugyancsak az Artin-Wedderburn-tétel következménye , hogy a félig egyszerű gyűrűk izomorfak a mátrixgyűrűk szorzatával.

Lásd még

• A félig egyszerű modulok  olyan modulok, amelyek egyszerűek közvetlen összegére bonthatók.

Jegyzetek

1. ↑ Herstein, Nem kommutatív gyűrűelmélet , Lemma 1.1.3
2. ↑ Isaacs, 13.14. tétel, p. 185
3. ↑ Kurosh, 1973 , p. 251.

• A Hersteinben. Nem kommutatív gyűrűk  (neopr.) . — 1. kiadás. - The Mathematical Association of America, 1968. - ISBN 0-88385-015-X .
• I. Martin Isaacs. Algebra, posztgraduális tanfolyam  (neopr.) . — 1. kiadás. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2 .

Irodalom

• Kurosh A. G. Előadások az általános algebráról. — M .: Nauka, 1973. — 393 p.