Fenchel kettősségi tétele

Fenchel dualitástétele a Werner Fenchel német matematikusról elnevezett konvex függvények elméletének eredménye .

Legyen ƒ egy konvex sajátfüggvény és g egy konkáv sajátfüggvény -on . Ezután, ha a szabályossági feltételek teljesülnek, $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

\inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{\star }(p)-f^{\star }(p)).

ahol a ƒ függvény konvex konjugátuma (amit Fenchel-Legendre transzformációnak neveznek), és a g függvény konkáv konjugátuma . vagyis $f^{\star }$ ${\displaystyle g_{\star ))$

f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left (x\jobbra)\jobbra|x\in \mathbb {R} ^{n}\jobbra\}

g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left( x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}

Matematikai tétel

Legyen X és Y Banach-terek , konvex függvények és korlátos lineáris leképezés . Aztán a Fenchel-problémák ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $A:X\to Y$

{\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\))

d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{ *}(-y^{*})\}

kielégíti a gyenge dualitást , azaz . Figyeljük meg, hogy az f és g függvények konvex konjugációi , és az adjunkt operátor . Ennek a kettős feladatnak az perturbációs függvényét a képlet adja meg . $p^{*}\geqslant d^{*}$ ${\displaystyle f^{\star },g^{\star ))$ $A^{*}$ $F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)$

Tegyük fel, hogy f , g és A bármelyiket kielégíti

f és g alsó félfolyamatos és , ahol az algebrai belső , és ahol h valamilyen függvény, halmaz , vagy $0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} gA\operatorname {dom} f)$ $\operatorname {core}$ $\operatorname {dom} h$ ${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \))$
$A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset$ , hol vannak azok a pontok, ahol a függvény folytonos . $\operatorname {folytatás}$

Aztán ott van az erős kettősség , vagyis . Ha , akkor elérjük a felsőbbséget [1] . $p^{*}=d^{*}$ $d^{*}\in \mathbb {R}$

Egydimenziós illusztráció

Az ábra a minimalizálási problémát szemlélteti az egyenlőség bal oldalán. Olyan x -értéket keresünk , hogy a függőleges távolság a konvex és a konkáv görbék között a lehető legkisebb legyen. A függőleges vonal helyzete az ábrán (körülbelül) optimális.

A következő ábra a maximalizálási problémát szemlélteti a fenti egyenlőség jobb oldalán. Az egyes görbékre rajzolt érintők p meredeksége azonos . A cél a p értékének finomítása , hogy a két érintő a lehető legtávolabb legyen egymástól (pontosabban, hogy metszéspontjaik az y tengellyel a lehető legtávolabb legyenek). Mechanikailag az érintőket fémrudaknak tekinthetjük, amelyeket függőleges rugók kötnek össze, amelyek szétnyomják őket, és a parabolák korlátozzák a rudak helyzetét.

Fenchel tétele kimondja, hogy ennek a két problémának ugyanaz a megoldása. A minimális függőleges távolságú pontok a legnagyobb kiterjedésű párhuzamos érintők érintőpontjai is.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Borwein, Zhu, 2005 , p. 135–137.

Irodalom

R. Tyrrell Rockafellar. Konvex elemzés. - Princeton University Press, 1996. - P. 327. - ISBN 0-691-01586-4 .
Jonathan Borwein, Qiji Zhu. A variációs elemzés technikái. - Springer, 2005. - ISBN 978-1-4419-2026-3 .