Virial

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2016. június 26-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 27 szerkesztést igényelnek .

A mechanikában a pontrészecskék halmazának viriálját skaláris függvényként határozzuk meg: $N$

\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

ahol és a -edik részecske koordinátáinak és erőinek térvektorai . ${\mathbf {r}}_{k}$ ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$

A "virial" kifejezés a latin "vis" , "viris" - "erő" vagy "energia" szavakból származik. Clausius vezette be 1870 -ben .

A viriális tétel

Egy stabil rendszerre, amelyet potenciális erők kötnek meg, a viriális tétel [1] igaz :

2\langle T\rangle =-\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle ,

ahol az átlagos teljes kinetikus energiát és a -edik részecskére ható erőt jelenti . $\langle T\rangle$ ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$

Abban a speciális esetben, amikor az erőnek megfelelő kölcsönhatás potenciális energiája arányos a részecskék közötti távolság hatványával, a viriális tétel egyszerű formát vesz fel. $V(r)$ $n$ $r$

2\langle T\rangle =n\langle U\rangle .

Más szavakkal, az átlagos teljes kinetikus energia kétszerese az átlagos teljes potenciális energia szorzata . $T$ $n$ $U$

A viriális tétel jelentősége abban rejlik, hogy lehetővé teszi az átlagos teljes kinetikus energia kiszámítását olyan nagyon összetett, egzakt megoldáshoz hozzáférhetetlen rendszerek esetében is, amelyeket például a statisztikai mechanika figyelembe vesz . Például a viriális tétel felhasználható az ekviparciális tétel ( az energia szabadsági fokok közötti egyenletes eloszlásáról szóló tétel) származtatására vagy a fehér törpe stabilitásának Chandrasekhar-határának kiszámítására .

Idő derivált és átlagolás

A vírushoz szorosan kapcsolódik egy másik skaláris függvény is:

G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

hol van a th részecske lendülete . ${\mathbf {p}}_{k}$ $k$

Egy függvény időbeli deriváltja a következőképpen írható fel: $G$

{\frac {dG}{dt}}=\sum _{{k=1}}^{N}{\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {p}}_{k}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_ {k}}{dt}}=

=\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}} ^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt }}

vagy egyszerűbb formában

{\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k} .

Itt van a részecske tömege, a részecskére ható teljes erő és a rendszer teljes kinetikus energiája $m_{k}$ $k$ ${\mathbf {F}}_{k}={\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}$ $T$

T={\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\ összeg _{{k=1}}^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r }}_{k}}{dt}}.

Ennek a származéknak az időbeli átlagát a következőképpen határozzuk meg: $\tau$

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }{\ frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G( 0)}{\tau }},

honnan kapjuk a pontos megoldást

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\langle T\rangle _{\tau }+\sum _{{k=1}}^{N} \langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }.

Viriális tétel

A viriális tétel kimondja:

Ha , akkor $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$

2\langle T\rangle _{\tau }=-\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_ {k}\rangle _{\tau }.

Több oka is van annak, hogy az időderivált átlagolása eltűnik, azaz . Az egyik gyakran hivatkozott ok a csatolt rendszerekre vonatkozik , vagyis azokra a rendszerekre, amelyek térhez kötöttek maradnak. Ebben az esetben a függvény általában két határértékre korlátozódik, és , és az átlag nullára hajlamos a nagyon hosszú idők határában : $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ $G^{{{\mathrm {bound}}}}$ $G_{\min }$ $G_{\max }$ $\tau$

\lim _{{\tau \to \infty }}\left|\left\langle {\frac {dG^{({\mathrm {bound}}}}}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{{\tau \to \infty }}\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leqslant \lim _{ {\tau \to \infty }}{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.

Ez a következtetés csak azokra a rendszerekre érvényes, amelyekben a függvény csak az időtől függ, és nem függ jelentősen a koordinátáktól. Ha az időderivált középértéke , akkor a viriális tétel közelítési foka azonos. $G$ $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }\approx 0$

Kapcsolat a potenciális energiával

A részecskékre ható összerő a rendszer többi részecskéire ható erők összege ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$ $j$

{\mathbf {F}}_{k}=\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}},

ahol a részecskére a részecske oldaláról ható erő . Ezért az erőt tartalmazó függvény időbeli deriváltjában szereplő tag a következőképpen írható át: ${\mathbf {F}}_{{jk}}$ $j$ $k$ $G$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}.

Mivel nincs önművelet (vagyis ahol ), a következőket kapjuk: ${\mathbf {F}}_{{jk}}=0$ $j=k$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}} ^{N}\sum _{{j>k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1} }^{N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}} _{j}),

[2]

ahol feltételezzük, hogy Newton harmadik törvénye teljesül , azaz (abszolút értékben egyenlő, irányában ellentétes). ${\mathbf {F}}_{{jk}}=-{\mathbf {F}}_{{kj}}$

Gyakran előfordul, hogy a potenciális energiából erők származtathatók , ami csak a pontrészecskék és a távolság függvénye . Mivel az erő a potenciális energia ellentétes előjelű gradiense, ebben az esetben megvan $V$ $r_{{jk}}$ $j$ $k$

{\mathbf {F}}_{{jk}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{k}}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac { {\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{j}}{r_{{jk}}}},

amely egyenlő abszolút értékben és ellentétes irányú a vektorral - az erő, amely a részecske oldaláról hat a részecskére , amint azt egyszerű számításokkal kimutathatjuk. Ezért az erőtag a függvény deriváltjában az idő függvényében egyenlő ${\mathbf {F}}_{{kj}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{j}}}V$ $k$ $j$ $G$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{ j})=-\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}{\frac {({\mathbf {r} }_{k}-{\mathbf {r}}_{j})^{2}}{r_{{jk}}}}=-\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}.

Alkalmazás távolságfüggő erőkre

Gyakran kiderül, hogy a potenciális energia teljesítményfüggvény formájában van $V$

V(r_{{jk}})=\alpha r_{{jk}}^{n},

ahol az együttható és a kitevő állandó. Ebben az esetben a függvény időbeli deriváltjában szereplő erőtagot a következő egyenletek adják meg $\alpha$ $n$ $G$

-\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}} ^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{ j<k}}nV(r_{{jk}})=nU,

hol van a rendszer teljes potenciális energiája: $U$

U=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}V(r_{{jk}}).

Azokban az esetekben, amikor az idő derivált átlaga , az egyenlet $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\ cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Gyakran emlegetett példa a gravitációs vonzás , amelyre . Ebben az esetben az átlagos kinetikus energia az átlagos negatív potenciális energia fele $n=-1$

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Ez az eredmény rendkívül hasznos az olyan összetett gravitációs rendszerek esetében, mint a Naprendszer vagy a galaxis , és igaz egy elektrosztatikus rendszerre is, amelyre ugyanaz. $n=-1$

Bár ez a kifejezés a klasszikus mechanikára származik, a viriális tétel igaz a kvantummechanikára is .

Az elektromágneses mezők számítása

A viriális tétel általánosítható elektromos és mágneses terek esetére. Eredmény: [3]

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int \limits _{V}x_{k}{\frac {\partial P_{k}}{\részleges t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik} +T_{ik})\,dS_{i},

ahol a tehetetlenségi nyomaték , a Poynting vektor , a „folyadék kinetikus energiája ”, a részecskék véletlenszerű hőenergiája, valamint az elektromos és mágneses mező energiája a rendszer adott térfogatában , a folyadéknyomás tenzor a folyadékot kísérő helyi mozgó koordinátarendszerben kifejezve: $én$ $P$ $T$ $U$ $W^{E}$ $W^{M}$ $p_{{ik}}$

p_{{ik))=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m ^{\sigma }n^{\sigma }

és az elektromágneses tér energia-impulzus tenzora: $T_{ik}$

T_{{ik}}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}} }\right)\delta _{{ik}}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0 }}}\jobb).

A plazmoid a mágneses mezők és a plazma korlátozott konfigurációja. A viriális tétel segítségével könnyen kimutatható, hogy minden ilyen konfiguráció kitágul, ha nem korlátozzák külső erők. A végső konfigurációban a felületi integrál nyomófalak vagy mágnestekercsek nélkül eltűnik. Mivel a jobb oldali összes többi tag pozitív, a tehetetlenségi nyomaték gyorsulása is pozitív lesz. Könnyen megbecsülhető a tágulási idő . Ha a teljes tömeg egy sugáron belül korlátozott , akkor a tehetetlenségi nyomaték megközelítőleg , a bal oldal pedig a viriális tételben . A jobb oldali kifejezések összeadódnak egy nagyságrendű értékkel , ahol a plazmanyomás vagy a mágneses nyomás közül a nagyobb. E két kifejezés egyenlővé tételével, és figyelembe véve, hogy , , , ahol az ion tömege, az ionok koncentrációja, a plazmoid térfogata, a Boltzmann-állandó, a hőmérséklet, mert azt kapjuk: $\tau$ $M$ $R$ $MR^{2}$ $MR^{2}/\tau ^{2}$ $pR^{3}$ $p$ ${\displaystyle M=m_{i}nV\sim m_{i}nR^{3))$ $p\sim nkT$ ${\displaystyle c_{s}^{2}\sim {\frac {kT}{m_{i))))$ $m_{i}$ $n$ $V\sim R^{3}$ $k$ $T$ $\tau$

\tau \sim R/c_{s},

ahol az ion akusztikus hullám sebessége (vagy Alphen hullám , ha a mágneses nyomás nagyobb, mint a plazmanyomás). Így a plazmoid élettartama várhatóan nagyságrendileg megegyezik az akusztikus (Alfen) áthaladási idővel. $c_{s}$

Relativisztikus homogén rendszer

Abban az esetben, ha a fizikai rendszer figyelembe veszi a nyomásteret, az elektromágneses és gravitációs tereket, valamint a részecskegyorsulási teret, a viriális tétel relativisztikus formában a következőképpen íródik: [4]

~\langle W_{k}\rangle \approx -0{,}6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,

ráadásul az érték a részecskék kinetikus energiáját a rendszer közepén lévő részecskék Lorentz-tényezőjével egyenlő tényezővel haladja meg. Normál körülmények között feltételezhetjük, hogy , és akkor egyértelmű, hogy a viriális tételben a kinetikus energia a potenciális energiához nem 0,5-ös együtthatóval, hanem 0,6-hoz közeli együtthatóval van összefüggésben. A klasszikus esettől való eltérés a rendszeren belüli nyomástér és részecskegyorsulási mező figyelembevételéből adódik, míg a skalárfüggvény deriváltja nem egyenlő nullával, és Lagrange-deriváltának kell tekinteni . $~W_{k}\approx \gamma _{c}T$ $~T$ $~\gamma _{c}$ $~\gamma _{c}\approx 1$ $~G$

Az általánosított viriál integráltételének elemzése lehetővé teszi, hogy a térelmélet alapján egy képletet találjunk a rendszer tipikus részecskéinek négyzetes középsebességére, a hőmérséklet fogalmának használata nélkül: [5]

v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{ c}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {r}{c)){\sqrt {4\pi \eta \rho _{0))}\jobbra))))) },

ahol a fény sebessége, a gyorsulási tér állandója, a részecske tömegsűrűsége, az áram sugara. $~c$ $~\eta$ ${\displaystyle ~\rho _{0))$ ${\displaystyle~r}$

Ellentétben a részecskékre vonatkozó viriális tétellel, az elektromágneses tér viriális tétele a következőképpen van felírva: [6]

~E_{kf}+2W_{f}=0,

hol az energia $~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$

úgy tekintjük, mint a 4-áramhoz kapcsolódó mező kinetikus energiáját és a mennyiséget ${\displaystyle ~j^{\alpha ))$

~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0))}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g} }dx^{1}dx^{2}dx^{3}}

megadja a tér potenciális energiáját, amely az elektromágneses tenzor összetevőin keresztül található.

Lásd még

Vírusbomlás

Jegyzetek

↑ Sivukhin D.V. A fizika általános kurzusa. Mechanika. - M . : Nauka, 1979. - Példányszám 50 000 példány. - Val vel. 141.
↑ Ennek az egyenlőségnek a bizonyítéka
↑ Schmidt G. A magas hőmérsékletű plazmák fizikája. - Második kiadás. - Akadémiai Kiadó, 1979. - p. 72.
↑ Fedosin, SG A viriális tétel és a makroszkopikus rendszer részecskéinek kinetikus energiája az általános térfogalomban (angol) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : Journal. - 2016. - Kt. 29 , sz. 2 . - P. 361-371 . - doi : 10.1007/s00161-016-0536-8 . - Iránykód . - arXiv : 1801.06453 .
↑ Fedosin, Sergey G. Az általánosított viriál integrál tétele a relativisztikus egységes modellben (angol) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : Journal. - 2018. - szeptember 24. ( 31. évf . 3. sz .). - P. 627-638 . — ISSN 1432-0959 . - doi : 10.1007/s00161-018-0715-x . — Iránykód . - arXiv : 1912.08683 .
↑ Fedosin SG A mezőenergia integráltétele. Archiválva : 2019. június 23. a Wayback Machine Gazi University Journal of Science-ben. Vol. 32. sz. 2, pp. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783 .

Irodalom

Goldstein H. Klasszikus mechanika. — 2. szerk. - Addison-Wesley, 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai Nagy orosz