Stone-tétel a Boole-algebrák ábrázolásáról
Stone Boole-algebrákra vonatkozó reprezentációs tétele kimondja, hogy minden Boole-algebra izomorf valamilyen halmazmezővel .
Történelem
A tételt Stone bizonyította 1936-ban. Ez a tétel szolgált kiindulópontul a Hilbert-tér operátorainak spektrális elméletének vizsgálatához .
Kőterek
Minden B logikai algebrához van egy topológiai tér, az úgynevezett kőtér , amelyet S ( B ) jelölünk. Az S ( B ) pontjai B ultraszűrői , azaz homomorfizmusok B -ből egy kételemű Boole-algebrába. Az S ( B ) topológiáját egy zárt bázis adja meg, amely az űrlap összes halmazából áll
ahol b a B eleme .
Minden B logikai algebra esetében az S ( B ) tér egy kompakt , teljesen szétválasztott Hausdorff tér. Az ilyen tereket profinitnak is nevezik .
Ennek a fordítottja is igaz: az X profinit térben nyitott és zárt részhalmazok egy Boole-algebrát alkotnak.
Megfogalmazás
Stone-tételek a Boole-algebrák ábrázolásáról. Minden B logikai algebra izomorf olyan részhalmazok algebrájával, amelyek nyitottak és zártak is az S ( B ) kőterükben. Az izomorfizmus egy b ∈ B elemet küld a b -t tartalmazó ultraszűrők halmazába . Felépítésüknél fogva ez a készlet nyitott és zárt.
Az alábbiakban a tétel finomítása látható a kategóriaelmélet nyelvén . Ez a finomítás az egyik első értelmes példája a kategóriák kettősségének. A bizonyításhoz a választás axiómája vagy annak gyenge formája szükséges.
A tétel pontosítása. Kettősség van a Boole-algebrák kategóriája és a profinit terek kategóriája között , vagyis a diszkrét topológiával ellátott véges halmazrendszerek projektív határai között .
Ez a kettősség azt jelenti, hogy a Boole-algebrák közötti minden homomorfizmus természetesen egy folytonos térképnek felel meg . Más szóval, e kategóriák között van egy kontravariáns függvény .
Változatok és általánosítások
- kettősségének egy speciális esete a terek és a részlegesen rendezett halmazok kategóriái .
- Stone kettősségének általánosítását a Boole-terek kategóriájára (azaz nulla dimenziós lokálisan kompakt Hausdorff-terekre) G. D. Dimov kapta.
Lásd még
Linkek
- Paul Halmos és Steven Givant (1998) Logic as Algebra . Dolciani Matematikai Kiállítások sz. 21. The Mathematical Association of America .
- Johnstone, Peter T. (1982) Stone Spaces . Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5 .
- Marshall H. Stone (1936): A Boole - algebrák reprezentációinak elmélete, Transactions of the American Mathematical Society 40 : 37-111.
- GD Dimov (2012) A kőkettős-tétel néhány általánosítása . Publ. Math. Debrecen 80 : 255–293.
- HP Doctor (1964) A logikai rácsok, a logikai gyűrűk és a Boole-terek kategóriái . Kanada. Math. Bulletin 7 : 245–252.
- Stanley N. Burris és HP Sankappanavar (1981) Univerzális algebra tanfolyam. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .