Routh-tétel

Routh tétele meghatározza egy adott háromszög területei és a három páronként metsző cevian által alkotott háromszög területei közötti kapcsolatot . A tétel kimondja, hogy ha egy háromszögben a , és a pontok oldalain helyezkednek el , akkor a cevians által alkotott háromszög orientált területét jelölve és a , és a cevianok területéhez képest háromszöget a reláció fejezi ki $ABC$ $D$ $E$ $F$ $időszámításunk előtt$ $CA$ $AB$ ${\tfrac {CD}{BD}}$ $=x$ ${\tfrac {AE}{CE}}$ ${\displaystyle=y}$ ${\tfrac {BF}{AF}}$ ${\displaystyle=z}$ $HIRDETÉS$ $LENNI$ $CF$ $ABC$

{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)))

A tételt E. J. Rouse bizonyította be 1896-ban , az Analitikai statikáról szóló traktátus számos példával 82. oldalán . Egy adott esetben a tétel a jól ismert egyhetedik terület háromszög tétele . A medián esetében a középpontban metszik . $x=y=z=2$ $x=y=z=1$

Bizonyítás

Állítsuk be a háromszög területét a következőre . Egy háromszögre és egy egyenesre a Menelaus-tételt használva a következőt kapjuk: $ABC$ $egy$ $ABD$ $FRC$

{\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1

Ekkor tehát a háromszög területe: ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$ $ARC$

S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}= {\frac {x}{zx+x+1}}

Hasonlóképpen kapjuk: és így a háromszög területe: $S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ $S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1))$ $PQR$

{\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB))

=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}

={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1))).

Linkek

Murray S. Klamkin, A. Liu (1981): "A Routh-tétel három további bizonyítéka", Crux Mathematicorum 7:199-203.
HSM Coxeter (1969) Bevezetés a geometriába, pp. 211, 219-220, 2. kiadás, Wiley, New York.
JS Kline, D. Velleman. (1995) "Újabb bizonyíték Routh tételére" (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40
Jay Warendorff. Routh tétele The Wolfram Demonstrations Project .
Weisstein, Eric W. Routh tétele (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Routh-tétel a Cross Products által – MathPages
Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "A Routh-tétel újra megvizsgálva", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.