Rao-Blackwell-Kolmogorov tétel
A Rao - Blackwell - Kolmogorov -tétel a matematikai statisztika állítása , amely alapján javítható a paraméterek statisztikai becslése .
Legyen független azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata , amelynek eloszlása valamilyen ismeretlen paramétertől függ. Legyen ennek az ismeretlen paraméternek valamilyen statisztikai becslése másodlagos momentumok véges mátrixával ,a paraméterrestatisztikaelegendőlegyenés, z vektorra a szükséges dimenzióból a következő egyenlőtlenség teljesül :
![{\displaystyle {\hat {\theta }}_{1}(X)={\textrm {E}}[{\hat {\theta }}(X)|T(X)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97480f5ab58293d23acf8d0c5712e78295b41dad)
![{\displaystyle z{\textrm {E}}[({\hat {\theta }}_{1}(X)-\theta )^{T}({\hat {\theta }}_{1}( X)-\theta )]z^{T}\leqslant z{\textrm {E}}[({\hat {\theta }}(X)-\theta )^{T}({\hat {\theta }}(X)-\theta )]z^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55733ceeafce0ac4455b75012aae793bf111832f)
Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha T mérhető függvénye .
Bizonyítás
Bizonyítás arra az esetre, amikor a paraméter egyetlen szám, azaz a mérete eggyel egyenlő. Akkor
![{\displaystyle \operatorname {E} [{\hat {\theta }}_{1}(X)-\theta ]^{2}=\operátornév {E} \left[{\textrm {E}}({ \hat {\theta }}(X)|T(X))-\theta \right]^{2}=\operátornév {E} \left[{\textrm {E}}({\hat {\theta } }(X)-\theta |T(X))\jobbra]^{2}\leqslant \operátornév {E} \left[{\textrm {E}}(({\hat {\theta }}(X) -\theta )^{2}|T(X))\right]=\operátornév {E} ({\hat {\theta }}(X)-\theta )^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515de1b428b90ab10a7856822bb41f8ec1718640)
Az egyenlőtlenség abból adódik, hogy bármely W valószínűségi változóra , ha innen vesszük, azt is látjuk, hogy az egyenlőség csak akkor teljesül , ha minden T értékhez egy értéket vesz fel , azaz függvénye T .
![{\displaystyle \operátornév {var} W=\operátornév {E} W^{2}-(\operátornév {E} W)^{2}]\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0fb588539a74ef43f042307ffc8ad3da9765b8)
Lásd még
Irodalom
- Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). Pontbecslés elmélete (2. kiadás). Springer. 4. fejezet ISBN 0-387-98502-6 .
- Nikulin, MS (2001), „Rao–Blackwell–Kolmogorov-tétel”, Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104