Monge tétele (a másik neve a három sapka tétel) egy három kör tétel, amelyet Jean d'Alembert fogalmazott meg. és Gaspard Monge bizonyította . Gyakran használják példaként olyan tételekre, amelyek bizonyításához hasznos a tér méretének növelése.
Három tetszőleges kör esetén, amelyek nem helyezkednek el teljesen a másikban, az egyes körpárok közös külső érintőinek metszéspontjai ugyanazon az egyenesen helyezkednek el .
A legegyszerűbb bizonyítás háromdimenziós analógiát használ. [1] Legyen három kör három különböző sugarú gömbnek; a körök az egyenlítőknek felelnek meg, amelyek a gömbök középpontjain áthaladó síkból származnak. Három gömb egyedileg szorítható két sík közé. Mindegyik gömbpár meghatároz egy kúpot, amely mindkét gömböt kívülről érinti, és ennek a kúpnak a csúcsa megfelel a két külső érintő metszéspontjának, vagyis a külső hasonlóság középpontjának . Mivel a kúp egy-egy egyenese minden síkban van, minden kúp csúcsának mindkét síkban kell lennie, tehát valahol a két sík metszésvonalán. Ezért a homotétia három külső középpontja kollineáris.
A bizonyítást a háromdimenziós analógia nélkül is meg lehet alkotni. Ebben az esetben tekinthetünk három homotétiából álló összetételt, amelyek középpontjában az egyes körpárok közös külső érintőinek metszéspontjai vannak, és amelyek alatt mindegyik homotégia átveszi az egyik kört a másikba. Ebben az esetben e három homotégia együtthatóinak szorzata 1 lesz (mivel mindegyik homotégia együtthatója egyenlő lesz az egyik kör sugarának és a másik kör sugarának arányával), azaz , három ilyen homotégia összetétele párhuzamos fordítás lesz. De ha ennek a három körnek az egyik középpontját tekintjük, akkor láthatjuk, hogy a homotéták alkotásakor önmagába fordul, vagyis fix pont lesz. Ennek eredményeként három homotéia összetétele párhuzamos fordítás lesz fix ponttal, tehát ez a kompozíció egy azonos transzformáció lesz. És a három homotétia középpontjára vonatkozó tétel szerint , ha három homotéia összetétele azonos transzformáció, akkor középpontjaik ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ezért az egyes körpárok közös külső érintőinek metszéspontjai ugyanazon az egyenesen helyezkednek el.