Weyl egyenletes eloszlási tétele

A Weyl-féle egyenletes eloszlási tétel a valós számok végtelen sorozatának egyenletes eloszlásának kritériumát fogalmazza meg az intervallumból . $(0;1)$

A tételt 1914-ben bebizonyította és 1916-ban publikálta Hermann Weyl . [1] [2]

Definíciók

Legyen az intervallumból származó valós számok végtelen sorozata $\xi _{1},\xi _{2},\pontok$ $(0;1)$

Számok esetén az intervallumban található számok számával jelölje . $a,b\in (0;1),\ a<b$ $\varphi _{n}(a,b)=\#\left\lkapcsos zárójel {k:1\leq k\leq n,\xi _{k}\in (a;b)}\right\rbrace$ ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n))$ $(a;b)$

A maximális maximális eltérést a következőképpen határozzuk meg . $D_{\xi }=\lim \sup _{n\to \infty }{\left(({\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n))-(ba) }\jobb)}$

A sorozatot egyenletes eloszlásúnak nevezzük, ha . Más szóval, a sorozat egyenletesen oszlik el a szegmensben, ha bármely nem nulla szegmensben az ebbe a szegmensbe eső elemek aránya a szegmens méretének töredékére hajlik . $\xi _{1},\xi _{2},\pontok$ $(0;1)$ $D_{\xi }=0$ $(0;1)$ $(0;1)$

tétel állítása

A sorozat akkor és csak akkor oszlik el egyenletesen, ha az intervallum bármely Riemann-integrálható függvényére a következő azonosság teljesül: $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ $(0;1)$ $(0;1)$ $f$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k}) }}=\int \limits _{0}^{1}{f(x)dx}

Bizonyíték

Nyilvánvalóan az egyenletes eloszlásról szóló állítás ekvivalens a forma darabonkénti állandó függvényei azonosságának teljesítésével . Ez azonnal biztosítja az egységesség következményét az azonosság teljesüléséből minden funkcióra vonatkozóan. $f(x)=\left\lkapcsos zárójel {\begin{mátrix}1,x\in (a;b)\\0,x\not \in (a;b)\end{mátrix}}\jobbra .$

Sőt, egyenletes eloszlású sorozat esetén az ilyen függvények összetételét és a megfelelő szorzásokat (konstanssal) és a határértékek és integrálok összeadását felhasználva bármely darabonkénti állandó függvényre igazolható az azonosság érvényessége.

Mivel bármely Riemann-integrálható függvény az integrál értékéig közelíthető egy darabonkénti konstans függvénnyel (sőt úgy, hogy ) esetén , akkor $f$ ${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{1}{|f(x)-f_{1}(x)|dx))$ $f_1$ $\forall x:\ |f_{1}(x)-f(x)|<\varepsilon$ $\varepsilon >0$

{\Bigg |}{\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n))\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1 }(\xi _{k})}}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}={\Bigg |}{\int _{0}^{ 1}{f_{1}(x)dx}-\int _{0}^{1}{f(x)dx)){\Bigg |}<\varepszilon

\exists N:\ \forall n>N:\ {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1} (\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<2\varepsilon

Mivel a definíció szerint a következő , akkor kellően nagyra érvényes $f_1$ ${\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-{\frac {1 }{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k}))){\Bigg |}={\Bigg |}{{\frac { 1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{(f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k))))){\Bigg |}<{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{|f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k} )}|<\varepszilon$ $n$

{\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-\int _{0 }^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon

Mivel ezekbe az argumentumokba tetszőlegesen kicsi behelyettesíthető , ez azt jelenti, hogy $\varepsilon >0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k}) }}=\int _{0}^{1}{f(x)dx}

Következmények

Teszt trigonometrikus összegekkel

Weil tétele lehetővé teszi számunkra, hogy közvetlen összefüggést vonjunk le az eloszlás egyenletessége és a trigonometrikus összegek között . [2]

Egy sorozat akkor és csak akkor egyenletes eloszlású, ha bármely egész szám esetén, $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ $(0;1)$ $m\not =0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi m\xi _{k}i}}}=0

Az utolsó állítás bizonyítása a főtétel bizonyításához hasonlóan történik (lásd fent), de a darabonkénti lineáris függvénnyel történő közelítés helyett a Fourier-sor parciális összegeivel való közelítést alkalmazzuk .

A képletben szereplő állandó valójában az integrál értéke . $0$ $\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi mxi}dx}=0$

Irracionális többszörösek tört részei

A tétel trigonometrikus összegekkel történő megfogalmazásának köszönhetően könnyen levezethető a következő eredmény:

Jelölje a szám törtrészével $\left\lbrace {x}\right\rbrace$ $x$

Ha irracionális szám, akkor a sorozat egyenletes eloszlású . $\xi \in {\mathbb {R} }$ $\left\lkapcsos zárójel {\xi }\jobbra\rkapcsos zárójel ,\left\lkapcsos zárójel {2\xi }\right\rbrace ,\left\lkapcsos zárójel {3\xi }\jobbra\rkapcsos zárójel ,\pontok ,\left\ lkapcsos zárójel {n\xi }\jobbra\rkapcsos zárójel ,\pontok$ $(0;1)$

Bizonyíték

A trigonometrikus formában való egységességi kritériumon keresztüli bizonyításhoz elegendő megbecsülni a trigonometrikus összeg modulusát irracionális és egész számokra . Ehhez használhatja a legegyszerűbb képletet a geometriai progresszió összegére . $\xi _{k}=k\xi$ $m\not =0$

{\Bigg \vert }{\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi ))}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert } {\frac {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}{1-e^{2\pi m\xi }}}{\Bigg \ vert }={\frac {\vert {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}\vert }{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}<{\frac {2}{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}

Mivel a mennyiség nem függ -től , így minden rögzített egyedre a fenti egyenlőtlenségből következik $\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert$ $n$ $m\not =0$

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi i}}}=0

Irodalom

Kuipers L., Niederreiter G. A sorozatok egyenletes eloszlása. — M .: Nauka, 1985. — 408 p.
Cassels J.W.S. Bevezetés a diofantin közelítések elméletébe. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1961. - 213 p.

Jegyzetek

↑ Hermann Weyl . Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen . - 1916. - 1. évf. 77. - S. 313-352 . Archiválva az eredetiből 2017. augusztus 15-én.
↑ 1 2 K. Chandrasekharan. Bevezetés az analitikus számelméletbe . - Világ, 1968. Archiválva : 2014. november 29. a Wayback Machine -nél