Fermi energia

A nem kölcsönható fermionokból álló rendszer Fermi-energiája (szintje) ( ) a rendszer alapállapotának energiájának növekedése egy részecske hozzáadásával. A Fermi-energia megegyezik a rendszer kémiai potenciáljával alapállapotában, abszolút nulla hőmérsékleten . A Fermi-energia úgy is értelmezhető, mint a maximális fermion energia alapállapotban abszolút nulla hőmérsékleten . A Fermi-energia a szilárdtestfizika egyik központi fogalma. $E_F$

Nem relativisztikus, nem kölcsönható részecskékhez, amelyek spinje 1/2 háromdimenziós térben

E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}} \jobbra)^{2/3},

A nevet Enrico Fermi olasz fizikus tiszteletére adták . Itt van a redukált Planck-állandó , a fermion tömege , a részecskék koncentrációja . $\hbar$ $m_{0}$ $N/V$

A fermionok – általában 1/2 -es spinnel rendelkező részecskék, mint például az elektronok – betartják a Pauli-féle kizárási elvet , amely szerint két egyforma, kvantummechanikai rendszert alkotó részecske (például egy atom) nem veheti fel ugyanazt a kvantumot. állapot. Ezért a fermionok engedelmeskednek a Fermi-Dirac statisztikának . A nem kölcsönhatásba lépő fermionok alapállapotát egy üres rendszerből kiindulva építjük fel, és fokozatosan, egyesével hozzáadjuk a részecskéket, egymás után töltve ki az állapotokat az energiájuk növekedésének sorrendjében (például egy atom elektronpályáinak feltöltése elektronokkal). A szükséges részecskeszám elérésekor a Fermi-energia egyenlő a legmagasabb foglalt állapot energiájával (vagy a legalacsonyabb foglalt állapottal: makroszkopikus rendszer esetén a különbség lényegtelen). Ezért a Fermi-energiát Fermi-szintnek is nevezik . A Fermi-energiával egyenlő energiájú részecskék Fermi-sebességnek nevezett sebességgel mozognak .

Egy szabad elektrongázban (a fermionok ideális gázának kvantummechanikai változata) a kvantumállapotok impulzusuk szerint jelölhetők . Valami hasonlót meg lehet tenni periodikus rendszerekkel, például egy fém atomrácsában mozgó elektronokkal, az úgynevezett kvázi -impulzus ( Particle in a periodic potencial ) felhasználásával. Mindkét esetben a Fermi-energia állapotok a Fermi-felületként ismert impulzustér felületén helyezkednek el . Egy szabad elektrongáz esetében a Fermi-felület egy gömb felülete; periodikus rendszerek esetében általában torz alakú. A Fermi felszín alatti térfogat határozza meg a rendszerben lévő elektronok számát, topológiája pedig közvetlenül összefügg a fémek szállítási tulajdonságaival, például az elektromos vezetőképességgel . A legtöbb fém Fermi-felülete mind kísérletileg, mind elméletileg jól tanulmányozott.

Fermi szint nem nulla hőmérsékleten

A fémben lévő elektronok minden ésszerű hőmérsékleten fontos esetére figyelembe vehetjük , hogy hol van a kémiai potenciál egy adott hőmérsékleten, az a Boltzmann-állandó . Ezt a helyzetet degenerált Fermi gáznak nevezik . (A másik korlátozó esetben a Fermi-gázt nem degeneráltnak mondjuk, a nem degenerált Fermi-gáz foglalkozási számai kicsik, és a klasszikus Boltzmann-statisztikával leírhatók .) $T$ $kT\ll\mu$ $\mu$ $k$ $kT\gg\mu$

Egy szabad Fermi-gáz Fermi-energiáját az egyenlet a kémiai potenciállal hozza összefüggésbe

\mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\jobb)^{2} +{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\jobbra)^{4}+\lpontok \jobbra],

Ezért a kémiai potenciál megközelítőleg megegyezik a Fermi-energiával a jellemző Fermi-hőmérséklet alatti hőmérsékleteken . A jellemző hőmérséklet egy fémre 10 4 K nagyságrendű , tehát szobahőmérsékleten (300 K ) a Fermi-energia és a kémiai potenciál valójában egyenértékű. Ennek azért van jelentősége, mert a kémiai potenciál nem a Fermi-Dirac eloszlásba belépő Fermi-energia [1] $E_{F}/k$

${{f}_{FD}}\left(E-\mu \right)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT))\right )+1}}.$

Ha a hőmérséklet és a fermion energia egyenlő , a Fermi-Dirac eloszlásfüggvény az értékre hajlik . Alacsony hőmérsékleten az energiaállapotok kitöltésének határa szimmetrikusan elkenődik egy nagyságrenddel . Ebben az esetben az elektronikus állapotok Fermi energiával való feltöltésének valószínűsége . Magas hőmérsékleten a kenődés aszimmetrikussá válik, és a kémiai potenciál értéke az alacsony energiák tartományába tolódik el [1] . $T 0-ra$ $E$ $E_F$ ${{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu (T)\right)\to {\frac {1}{2}}$ $kT\ll {{E}_{F}}$ $E=E_{F}$ $kT$ ${{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu \right)\approx 1/2$

Fermi-szintként a -nél pontosan felével kitöltött szintet választhatunk (vagyis az állapot szintjét , amelynek egy részecskével való megtelésének valószínűsége 1/2). $kT\ll {{E}_{F}}$

Energia, hőmérséklet és Fermi sebesség

Elem	Fermi energia, eV	Fermi hőmérséklet, × 10 000 K	Fermi sebesség, × 1000 km/s
Li	4.74	5.51	1.29
Na	3.24	3.77	1.07
K	2.12	2.46	0,86
Rb	1.85	2.15	0,81
Cs	1.59	1.84	0,75
Cu	7.00	8.16	1.57
Ag	5.49	6.38	1.39
Au	5.53	6.42	1.40
Lenni	14.3	16.6	2.25
mg	7.08	8.23	1.58
kb	4.69	5.44	1.28
Sr	3.93	4.57	1.18
Ba	3.64	4.23	1.13
Nb	5.32	6.18	1.37
Fe	11.1	13.0	1.98
Mn	10.9	12.7	1.96
Zn	9.47	11.0	1.83
CD	7.47	8.68	1.62
hg	7.13	8.29	1.58
Al	11.7	13.6	2.03
Ga	10.4	12.1	1.92
Ban ben	8.63	10.0	1.74
Tl	8.15	9.46	1.69
sn	10.2	11.8	1.90
Pb	9.47	11.0	1.83
Kettős	9.90	11.5	1.87
Sb	10.9	12.7	1.96
Ni	11.67		2.04
Kr	6.92		1.56

A Fermi-energia és a vezetési elektronok koncentrációja közötti kapcsolat

A degenerált félvezetőkben lévő vezetési elektronok koncentrációja a részben kitöltött energiasáv szélétől a Fermi-szintig mért távolsággal függ össze. Ezt a pozitív értéket néha Fermi-energiának is nevezik, analóg módon egy szabad elektrongáz Fermi-energiájával, amelyről ismert, hogy pozitív.

A fémekben általában több részben kitöltött energiasáv van, ezért nem lehet pontosan megmondani, hogy a szabad töltéshordozók koncentrációja milyen mértékben függ a Fermi-szint helyzetétől.

Lásd még

Kvázi-Fermi szint

Jegyzetek

↑ 1 2 N. Ashcroft, N. Mermin. A SZILÁRD ÁLLAPOT FIZIKÁJA. 1. kötet - Moszkva: Mir, 1979. - 458 p.

Irodalom

Gusev V. G., Gusev Yu. M. Electronics. - M .: Felsőiskola, 1991. - S. 53. - ISBN 5-06-000681-6 .