Lineáris egyenlőtlenség

A lineáris egyenlőtlenség olyan egyenlőtlenség , amely lineáris függvényeket foglal magában . A lineáris egyenlőtlenség az egyenlőtlenség szimbólumok egyikét tartalmazza [1]

< - kevesebb
> - több
$\leqslant$ - kisebb vagy egyenlő
$\geqslant$ - nagyobb vagy egyenlő
$\neq$ - nem egyenlő

és (formálisan is)

= - egyenlő

A lineáris egyenlőtlenség pontosan úgy néz ki, mint egy lineáris egyenlet , de egyenlőségjel helyett egyenlőtlenségjelet teszünk.

Valós számok lineáris egyenlőtlenségei

Kétdimenziós lineáris egyenlőtlenségek

A kétdimenziós lineáris egyenlőtlenségek a következő formák kifejezései:

ax+by<c

és

ax+by\geqslant c,

ahol az egyenlőtlenségek lehetnek szigorúak vagy nem. Egy ilyen egyenlőtlenség megoldási halmaza grafikusan ábrázolható az euklideszi sík félsíkjaként (egy fix egyenes "egy oldalán" lévő összes pont) [2] . A félsíkot meghatározó egyenes ( ax + by = c ) nem szerepel a megoldásban, ha az egyenlőtlenség szigorú. Egy egyszerű eljárás annak meghatározására, hogy melyik félsík a megoldás, az ax + függvény értékét egy olyan pontban ( x 0 , y 0 ) számítjuk ki, amely nem egy egyenesen van, és ellenőrizzük, hogy ez a pont kielégíti-e az egyenlőtlenséget. .

Például [3] , hogy x + 3 y < 9 megoldást rajzoljon, először húzzon egy egyenest az x + 3 y = 9 egyenlettel (szaggatott vonal), amely megmutatja, hogy az egyenes nem tartozik a megoldási területhez, mivel az egyenlőtlenség szigorú. Ezután kiválasztunk egy kényelmes pontot, amely nem az egyenesen van, például (0,0). Mivel 0 + 3(0) = 0 < 9, ez a pont az egyenlőtlenség megoldásainak halmazába tartozik, az ezt a pontot tartalmazó félsík (az egyenes „alatti” félsík) pedig az egyenlőtlenség megoldásainak halmaza. lineáris egyenlőtlenség.

Lineáris egyenlőtlenségek magasabb dimenziós terekben

Az R n térben a lineáris egyenlőtlenségek olyan kifejezések, amelyek így írhatók fel

f({\bar {x)))<b

vagy

f({\bar {x)))\leqslant b,

ahol f egy lineáris alak , , és b egy állandó valós érték. ${\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

Pontosabban ezt így lehet írni

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b

vagy

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant b.

Itt ismeretleneknek, de együtthatóknak nevezik. ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n))$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n))$

Alternatív megoldásként ugyanezt úgy is felírhatjuk, hogy

g(x)<0\,

vagy

g(x)\leqslant 0,

ahol g egy affin függvény [4]

Azaz

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0

vagy

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant 0.

Ne feledje, hogy minden olyan egyenlőtlenség, amely "nagyobb, mint" vagy "nagyobb vagy egyenlő" jeleket tartalmaz, átírható egyenlőtlenséggé "kisebb, mint" vagy "kisebb, mint vagy egyenlő", így nincs szükség lineáris egyenlőtlenségek meghatározására. ezekkel a jelekkel.

Lineáris egyenlőtlenségek rendszerei

A lineáris egyenlőtlenségek rendszere azonos változókkal rendelkező egyenlőtlenségek halmaza:

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n }&&\;\leqslant \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_ {n}&&\;\leqslant \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_ {m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leqslant \;&&&b_{m}\ \\end{alignedat}}

Itt vannak változók, rendszeregyütthatók és állandó tagok. ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n))$ ${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn))$ ${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m))$

Röviden, ez mátrixegyenlőtlenségként írható fel

Ax\leqslant b,

ahol A egy m × n mátrix , x egy változóból álló n × 1 oszlopvektor , és b egy m × 1 konstans oszlopvektor.

A fent leírt rendszerekben szigorú és nem szigorú egyenlőtlenségek egyaránt alkalmazhatók.

Nem minden lineáris egyenlőtlenségi rendszernek van megoldása.

Alkalmazások

Poliéder

Egy valós egyenlőtlenség megoldási halmaza az n -dimenziós valós tér félterét alkotja, a megfelelő lineáris egyenlet által meghatározott két féltér egyikét .

A lineáris egyenlőtlenségek rendszerének megoldási halmaza megfelel az egyéni egyenlőtlenségek által meghatározott félterek metszéspontjának. Konvex halmaz, mert a félterek konvex halmazok, és a konvex halmazok metszéspontja is konvex halmaz. Nem degenerált esetekben ez a konvex halmaz egy konvex poliéder (esetleg határtalan, például egy féltér, egy lemez két párhuzamos féltér között vagy egy konvex kúp ). Ez lehet egy üres vagy konvex poliéder is, amelynek kisebb dimenziója van, amelyet az R n n - dimenziós tér egy affin altere határol .

Lineáris programozás

A lineáris programozás problémája egy függvény (úgynevezett célfüggvény ) optimumát (maximális vagy minimális értékét) keresi a változókra vonatkozó bizonyos kényszerek mellett, amelyek általában lineáris egyenlőtlenségek [5] . Ezen korlátozások listája lineáris egyenlőtlenségek rendszere.

Általánosítás

A fenti definíció jól meghatározott összeadási , szorzási és összehasonlítási műveleteket igényel . Ezért a lineáris egyenlőtlenség fogalma kiterjeszthető rendezett gyűrűkre és különösen rendezett mezőkre . Az ilyen típusú általánosítások csak elméleti jelentőségűek mindaddig, amíg ezeknek az általánosításoknak az alkalmazása világossá nem válik.

Jegyzetek

↑ Miller és Heeren 1986 , p. 355.
↑ Technikailag egy ilyen állítás akkor helyes, ha a és b nem egyenlő nullával egyszerre. A nullával való egyenlőség esetén a megoldás egy üres halmaz, vagy a teljes sík.
↑ Angel, Porter, 1989 , p. 310.
↑ Kétdimenziós tér esetén mind a lineáris formát, mind az affin függvényt történetileg lineáris függvényeknek nevezik, mert grafikonjaik egyenesek. Más dimenziókban ezeknek a függvényeknek nincs egyenes vonala gráfként, így a lineáris függvény általánosítása magasabb dimenziókra az algebrai tulajdonságok értelmében történik, és ez kétféle függvényre való szétváláshoz vezet. Ezeknek a függvényeknek a különbsége azonban csak egy hozzáadott állandó.
↑ Angel, Porter, 1989 , p. 373.

Irodalom

Allen R. Angel, Stuart R. Porter. Felmérés a matematikai alkalmazásokról. — 3. - Addison-Wesley, 1989. - ISBN 0-201-13696-1 .
Charles D. Miller, Vern E. Heeren. Matematikai ötletek . — 5. - Scott, Foresman, 1986. - ISBN 0-673-18276-2 .
Khan Academy: Lineáris egyenlőtlenségek, ingyenes online mikroelőadások
Vyalyi MN Lineáris egyenlőtlenségek és kombinatorika . M.: MTsNMO, 2003. 32 p.