Hermitikus operátor

A matematikában egy komplex vagy valós Hilbert-tér operátorát szimmetrikusnak nevezik , ha a definíciós tartományból mindenki számára kielégíti az egyenlőséget . Itt és lent azt feltételezzük, hogy ez a skaláris szorzat a -ban . A nevet Charles Hermite francia matematikus tiszteletére adták . $A$ $\mathfrak H$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x,y$ $A$ $(x, y)$ $\mathfrak H$

Az in operátort önadjungáltnak vagy hipermaximális Hermitiannak nevezzük , ha egybeesik az adjunktjával . $\mathfrak H$

Az önadjungált operátor szimmetrikus; ennek fordítva általában nem igaz. A teljes térre definiált folytonos operátorok esetében a szimmetrikus és az önadjungált fogalma egybeesik.

Tulajdonságok

1. Egy önadjungált operátor spektruma ( sajátértékek halmaza ) valós .

Bizonyíték

Bármely sajátértékre definíció szerint igaz . Ezért az önadjungált transzformáció definíciója szerint a következő kifejezések egyenlőek: $\lambda$ $A\left( x \right) = \lambda x$

\left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right)

és

\left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right)

honnan valós szám . $\lambda = \overline \lambda$ $\lambda$

2. Egységes véges dimenziós terekben az önadjungált operátor mátrixa Hermitian . (Különösen az euklideszi térben az önadjungált operátor mátrixa szimmetrikus.)

Bizonyíték

Egy egységes térben a belső szorzat , ahol és a vektorok koordináta oszlopai , ill. Ezért az önadjungált operátor definíciója szerint a kifejezések egyenlőek $\left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta$ $\xi$ $\eta$ $x$ $y$

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi } \right)^T \overline \eta = \xi ^TA^T \overline \eta

és

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta

Ezért , ami a hermitiánus mátrix definíciója. $A^T = \overline A$

3. A hermitiánus mátrixnak mindig van sajátvektorainak ortonormális bázisa – a különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok ortogonálisak.

Bizonyíték 1. lemma. Egy önadjungált transzformáció sajátterei páronként ortogonálisak. Az 1. lemma bizonyítása: Két különálló sajátérték és . Ennek megfelelően a vektorokra és a megfelelő sajáttereikből, és teljesül . Tehát egyenlő . De az önadjungált transzformáció sajátértékei valósak, és az utolsó kifejezésből származtathatók . Így az önadjungált transzformáció definíciója szerint megkaphatjuk , ahonnan ha a sajátértékek eltérőek , akkor egyértelmű, hogy , amit igazolni kellett.

\lambda

\mu

x

y

A\left( x \right) = \lambda x

A\left(y \right) = \mu y

\left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right)

\left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right)

\left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0

\lambda \ne \mu

\left({x,y} \jobb) = 0

2. lemma. Ha egy altér invariáns az önadjungált transzformáció alatt, akkor ennek az altérnek az ortogonális komplementere is invariáns az alatt .

E'

A

A

A 2. lemma bizonyítása: Ismeretes, hogy az altérhez tartozó bármely vektor képe benne rejlik. Ezért bármely vektor esetén . Mivel a transzformáció önadjungált, ebből az következik, hogy , azaz bármely vektor képe -ból -hoz tartozik , ami azt jelenti, hogy az altér invariáns a bizonyítandó A transzformáció alatt.

x

E'

y \in \left( {E'} \right)^ \bot

\left( {A\left( x \right),y} \right) = 0

A

\left({x,A\left(y \right)} \right) = 0

y

\left( {E'} \right)^ \bot

\left( {E'} \right)^ \bot

\left( {E'} \right)^ \bot

3. tulajdoni igazolás: Legalább egy sajátértéke van egy R operátornak egy n-dimenziós térben . Az 1. tulajdonság szerint ez a sajátérték valós. Megtalálható a megfelelő e 1 sajátvektor . Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy . Ha n=1, akkor a bizonyítás kész.

\lambda_1

|e_1| = 1

Tekintsük E 1 -et - az e 1 elem lineáris burkológörbéjét , amely R egydimenziós invariáns tulajdonrésze. Legyen E n-1 E 1 ortogonális komplementere . Ekkor a 2. lemma szerint E n-1 invariáns a vizsgált operátor alatt. Tekintsük most R'-nek, amely csak E n-1 -ben működik . Ekkor nyilvánvaló, hogy E n-1 -ben megadott önadjungált operátor lesz , mivel E n-1 invariáns R alatt a 2. lemma alapján, és ezen kívül x, y esetén E n : (Rx, y) = (x, Ry) , beleértve az x,y Е n-1- et is .

\mindenkinek

\ban ben

\mindenkinek

\ban ben

A fenti érvelést alkalmazva egy új sajátértéket és a hozzá tartozó sajátvektort találunk . Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy . Ebben az esetben véletlenül egybeeshet -vel , azonban a konstrukcióból jól látható, hogy . Ha n=2, akkor a bizonyítás kész. Ellenkező esetben tekintsük az E - lineáris héjat és annak E n-2 ortogonális komplementerét . Keressen egy új sajátértéket és a megfelelő sajátvektort , és így tovább.

\lambda_2

e_2

|e_2| = 1

\lambda_2

\lambda_1

(e_1, e_2) = 0

{(e_1, e_2)}

\lambda_3

e_3

Hasonló érvelést végzünk Е n kimerüléséig . A bizonyítás kész.

4. Az A hermitikus operátor esetén a det ||A|| determináns mátrixa egyenlő a sajátértékek szorzatával.

Mátrixok

Az adott mátrixhoz tartozó Hermitiánus konjugátum az a mátrix , amelyet az eredeti mátrixból úgy kapunk, hogy transzponáljuk és átadjuk a komplex konjugátumnak, azaz . Ez egy természetes definíció: ha egy lineáris leképezést és annak hermitikus konjugált operátorát bármilyen bázisban mátrixként írjuk fel, akkor a mátrixuk hermitikus konjugátum lesz. A hermitiánus ragozásával megegyező mátrixot hermitikusnak vagy önadjungáltnak nevezzük: mert . $A^{\dagger },$ $A$ $(A^{\dagger })_{ij}=A_{ji}^{*}$ $A^{\dagger }=A$

Alkalmazás

A hermitikus operátorok fontos szerepet játszanak a kvantummechanikában , ahol megfigyelhető fizikai mennyiségeket képviselnek, lásd Heisenberg bizonytalansági elvét .

Lásd még

Adjunkt operátor