Szentpétervári paradoxon

A szentpétervári paradoxon (vagy szentpétervári lottó ) a közgazdaságtanban egy olyan paradoxon, amely a játékos elméletileg optimális viselkedése és a „józan ész” közötti eltérést szemlélteti.

Eredet

A paradoxont először Daniil Bernoulli publikálta a "Szentpétervári Akadémia megjegyzései" című kiadványában [1] . A helyzetet korábban Daniel unokaöccse, Nicholas I Bernoulli írta le Pierre Montmort francia matematikussal folytatott levelezésében .

Néha a paradoxon szerzőségét Leonhard Eulernek [2] tulajdonítják, a névhez pedig azzal a ténnyel társul, hogy Euler hosszú ideig Szentpéterváron élt és dolgozott .

A paradoxon kijelentése

A következő problémát vizsgáljuk. A játékba belépve a játékos fizet egy bizonyos összeget, majd feldob egy érmét (mindegyik kimenetele 50%), amíg fel nem jön. Amikor fejek esnek ki, a játék véget ér, és a játékos a következő szabályok szerint kiszámított nyereményt kap. Ha az első dobásra fejeket dobnak, a játékos dukátokat kap, a második dobásnál dukátokat és így tovább (a -edik dobásnál dukátokat). Más szóval, a nyeremény, amely dobásról dobásra duplázódik, egymás után kettő hatványain fut át – 1, 2, 4, 8, 16, 32 stb. $2^0$ $2^1$ $n$ $2^{{n-1}}$

Kérdés: Milyen nevezési díj ellenében válik tisztességessé a játék?

Nem nehéz megtalálni a játékos nyereményének matematikai elvárását , amely egyenlő a végtelennel :

M={\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{4}}\cdot 2+{\frac {1}{8}}\cdot 4+{\frac {1} {16}}\cdot 8+\cdots=

={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =

=\infty\,.

A paradoxon az, hogy bár ennek a méltányos hozzájárulásnak a számított értéke egyenlő a végtelennel, vagyis nagyobb, mint bármely lehetséges nyereség, a valódi játékosok úgy érzik, hogy még 25 dukát is túl magas ár a játékba való belépéshez.

A paradoxon feloldásai

Felbontás valós korlátok révén

Adjunk becsléseket a paradoxon megoldásaira a játékok számát és az időkorlátokat illetően.

Annak a valószínűsége, hogy egy adott játékban a dobások száma meghalad néhányat , egyenlő . Engedje, hogy a játékos a legtöbb játékkal tudjon játszani . Ekkor annak a valószínűsége, hogy a dobások száma legalább egy játékban meghaladja a . A nagyok esetében ez megközelítőleg egyenlő . $n$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$ $k$ $n$ $1-\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)^{k}$ $n$ ${\displaystyle {\frac {k}{2^{n))))$

Feltételezzük, hogy a néhánynál kisebb valószínűségű esemény soha nem következik be. Ekkor a "valódi" dobások száma nem haladja meg a -t . Ezzel a feltételezéssel az átlagos nyeremény játékonként megközelítőleg egyenlő: $p$ $\log _{2}(k/p)$

$1\cdot {\frac {1}{2}}+2\cdot {\frac {1}{4}}+...+2^{n}\cdot {\frac {1}{2 ^{n+1}}}={\frac {n}{2}},$ ahol $n=\log _{2}{\frac {k}{p}}.$

Vagyis az átlagos nyereség az ${\frac {1}{2}}\log _{2}{\frac {k}{p}}.$

Például 1000 játék és p = 10 −6 esetén körülbelül 15-ös átlagos nyereményt kapunk.

Engedély a segédprogramon keresztül

A megoldás másik lehetősége a pénz hasznossági függvénye . Egy konvex határhaszonfüggvényt (gyakran logaritmikusat ) figyelembe véve ismét biztosítjuk, hogy a matematikai elvárása véges .

Tehát, ha feltételezzük, hogy a játékos számára fontos, hogy ne egy bizonyos összeggel , hanem bizonyos számú alkalommal növekedjen, akkor a nyereséget a logaritmikus hasznosságfüggvény szerint értékeli , maximalizálva a Pétervári paradoxon értéket, a a hasznosság matematikai elvárása végessé válik: $\ln {{\frac {X}{X_{0))))$ $x$ $X_{0}$

M\ln {\frac {X}{X_{0))}=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\ln {\frac {2^{i-1)) {X_{0}}}\right)2^{-i}=\ln 2-\ln X_{0}.

Innen könnyen megállapítható a játék valós értéke: . $X_{0}=2$

Ez a megoldás javítható, ha figyelembe vesszük a nyereség hasznosságát a játékos meglévő tőkéjének növekedése mellett (1000 dukátos emelés jobban megnöveli egy koldus hasznossági függvényét, mint egy milliárdosét), de a válasz csak kis mértékben változik. $w$

Ebben az esetben meg lehet változtatni a kifizetési rendszert úgy, hogy ez a megoldás is elfogadhatatlan legyen: minden korlátlan hasznosságfüggvénynél van egy olyan kifizetési sorrend az i- edik lépésnél a fejek megszerzéséért, hogy a várható hasznosság ismét egyenlő lesz a végtelennel. $n$

Súlyozott valószínűségek

Nicholas Bernoulli maga javasolt egy másik ötletet a paradoxon feloldására. Észrevette, hogy az emberek figyelmen kívül hagyják a valószínűtlen eseményeket (de Montmort, 1713 [3] ). Mivel a szentpétervári paradoxonban csak a kis valószínűségű események hoznak magas hozamot, ami a kifizetés várható értékének végtelen értékéhez vezet, ez segíthet a paradoxon feloldásában.

A súlyozott valószínűségek gondolata sokkal később újra megjelent Daniel Kahneman és Amos Tversky kilátáselméletről szóló munkájában . Kísérleteik azonban azt mutatták, hogy az emberek éppen ellenkezőleg, hajlamosak eltúlozni az egyes valószínűtlen események súlyát. Talán ezért is javasolták egyesek Nicholas Bernoulli megoldását [ kitől? ] nem tekinthető teljesen kielégítőnek.

Az aggregált (halmozott) kilátáselmélet a várható hasznosság elméletének egyik általános általánosítása , amely számos viselkedési mintára magyarázatot adhat (Tversky, Kahneman, 1992 [4] ). A kumulatív kilátáselméletben bevezetett valószínűtlen események súlyának eltúlzása azonban helyreállíthatja a szentpétervári paradoxont. A kumulatív kilátáselmélet csak azokra az esetekre oldja fel a paradoxont, amikor a hasznossági függvény kitevője kisebb, mint a súlyozott valószínűségi függvény kitevője (Blavatsky, 2005 [5] ). A paradoxon feloldásához intuitív módon a hasznosságfüggvénynek nem csak homorúnak kell lennie, hanem konkávnak kell lennie a súlyozott valószínűségi függvényhez képest.

Kifogásolható, hogy a hasznossági függvény mutatóját a kilátáselméletben legfeljebb 400 dolláros adatok alapján kapjuk meg (Tversky, Kahneman, 1992 [4] ). Míg a végtelenségig növekvő mennyiségek becslésénél a szentpétervári paradoxon merül fel. Vagyis a Kahneman-Tversky képletek használata ebben az esetben helytelen.

A matematikai elvárás számítási módszerként való használatának megtagadása

Különböző szerzők, köztük d'Alembert és John Maynard Keynes , elutasították az elvárásmaximalizálási megközelítést, mint a megfelelő számítási módszert, sőt az elvárás hasznosságát ilyen esetekben. Keynes különösen ragaszkodott ahhoz, hogy egy alternatív esemény relatív kockázata elég magas lehet ahhoz, hogy kizárja ennek az alternatív eseménynek az összes lehetőségét, még abban az esetben is, ha a pozitív esemény matematikai elvárása nagyon nagy.

Más szóval, ha a kaszinó 25 dukátért kínálja ezt a játékot, akkor a játékosok túlnyomó többsége visszautasítja, mivel valószínűbb, hogy 25 dukátnál kisebb összegeket nyer a játékban.

Válaszoljon próbatételekkel

William Feller 1937- ben javasolt egy matematikailag helyes, kísérleteket használó megközelítést . Ha nem használ szigorú leírást, akkor az intuitív magyarázat a következő. A módszer a következő technikát használja: "játszd ezt a játékot nagyszámú emberrel, majd számítsd ki a matematikai győzelmi elvárásokat a próbák során". E technika szerint, ha a nyerési összegekre vonatkozó elvárások sorrendje eltér, akkor ehhez végtelen játékidő feltételezése szükséges, és ha egy személy által lejátszott játékok száma egy bizonyos számra korlátozódik, akkor a matematikai elvárás konvergál néhány érték sokkal kisebb ennél a számnál.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Bernoulli rövid életrajza
↑ A szentpétervári paradoxon új oldalai
↑ de Montmort, Pierre Remond Essay d'analyse sur les jeux de hazard (francia) . — Másodszor. - Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , 1713. - ISBN 978-0-8218-3781-8 . . Angol fordítás: Pulskamp, Richard J Nicolas Bernoulli levelezése a St. Petersburg Game ( PDF (88 KB) ). Letöltve: 2010. július 22. Az eredetiből archiválva : 2008. szeptember 9.. (határozatlan)
↑ 1 2 Tversky, A.; Kahneman, D. Előrelépések a kilátáselméletben: A bizonytalanság kumulatív reprezentációja // Journal of Risk and Uncertainty : folyóirat. - 1992. - 1. évf. 5 , sz. 4 . - P. 297-323 . - doi : 10.1007/bf00122574 .
↑ Blavatskyy, P. Vissza a St. Petersburg paradoxon? // Menedzsmenttudomány. - 2005. - T. 51 , 4. sz . - S. 677-678 . - doi : 10.1287/mnsc.1040.0352 .

Irodalom

Kudrjavcev A. A. Szentpétervári paradoxon és jelentősége a közgazdasági elmélet számára // Bulletin of St. Petersburg University . - 2013. - Kiadás. 3 . - S. 41-55 .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)

Gazdasági paradoxonok

Alle
Antitröszt
Nyíl információs paradoxon
Bertrand
Braesa
Kilövellt vulkanikus anyagok
verseny
Demográfiai és gazdasági
Downes-Thomson
Easterlin
Edgeworth
Ellsberg
európai
Gibson
Giffen áruk
Icarus
Jevons
Leontief
Lucas
Mandeville
Mayfield
Metzler
erőforrás átok
Teljesítmény
jólét
Skitowski
Szolgáltatás
Szentpétervár
Takarékosság
Foglalkoztatás
Tulloch
Értékek