Félcsoport

A félcsoport az általános algebrában egy olyan halmaz , amelyen asszociatív bináris művelet van definiálva . Vita folyik arról, hogy a nem üresség követelményét bele kell-e foglalni a félcsoport definíciójába; egyes szerzők még a semleges elem („egy”) szükségességéhez is ragaszkodnak . Az elterjedtebb megközelítés azonban az, hogy egy félcsoport nem feltétlenül nem üres, és nem feltétlenül tartalmaz semleges elemet. A semleges elemű félcsoportot monoidnak nevezzük ; bármely semleges elemet nem tartalmazó félcsoport monoiddá alakítható, ha hozzáadunk hozzá valamilyen elemet és meghatározzuk $(S,\cdot )$ $S$ $e\not \in S$ $es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};$ a kapott monoidot általában jelöljük . $S^{1}$

Példák félcsoportokra: természetes számok összeadási művelettel , egy halmaz összes önmagára leképezésének halmaza az összeállítási művelettel , az összes szó halmaza valamilyen ábécén keresztül az összefűzési művelettel . Bármely csoport egyben félcsoport is; A gyűrű ideálja mindig egy félcsoport a szorzás művelete alatt.

Definíció

A félcsoport egy (nem üres) halmaz , amelyben egy bizonyos sorrendben vett elempárhoz egy új elemet definiálunk, amelyet szorzatának nevezünk , és bármely mindig [1] . ${\mathfrak {U}}$ $X,Y\in {\mathfrak {U}}$ $U=XY\in {\mathfrak {U}}$ $X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}$ $(XY)Z=X(YZ)$

Félcsoportok típusai

Egy félcsoportot kommutatívnak (vagy Abeli -nek) nevezünk, ha mindig bármelyikre érvényes . ${\mathfrak {U}}$ $A,B\in {\mathfrak {U}}$ $AB=BA$

A fontos osztályok félcsoportokat alkotnak redukcióval [2] :

bal oldali összehúzódással , ha bármelyik mindig azt jelenti ; $X,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $XA=XB$ $A=B$
megfelelő összehúzódással , ha bármelyik mindig azt jelenti ; $Y,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $AY=BY$ $A=B$
kétoldalú törléssel , ha egy félcsoportról van szó, egyszerre bal és jobb törléssel.

Egy félcsoport egy elemét regulárisnak nevezzük, ha van olyan elem , amelyben . Azt a félcsoportot, amelynek minden eleme szabályos, reguláris félcsoportnak nevezzük . $A$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $x$ $AXA=A$

Egy félcsoport elemét teljesen szabályosnak mondjuk , ha van olyan elem , hogy és . A teljesen szabályos félcsoport olyan félcsoport, amelynek minden eleme teljesen szabályos [3] . $A$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $x$ $AXA=A$ $AX=XA$

Egy olyan félcsoport , amelyben a benne lévő bármely számára mindig létezik úgy, hogy és , egy csoport . ${\mathfrak {U}}$ $A,B\in {\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X,Y$ $XA=B$ $AY=B$

Félcsoport szerkezet

Ha , akkor szokás jelölni . $A,B\S részhalmaz$ $AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$

Egy félcsoport egy részhalmazát alcsoportnak nevezzük , ha maga is félcsoport, tekintettel a műveletnek egy részhalmazra való korlátozására. Ehhez elegendő, ha a szorzatukból bármely két elemhez is tartozik . $A$ $S$ $A$ $A$

Ha a részhalmaz nem üres, és (illetve ) -ben van , akkor azt a jobb (illetve bal) ideáljának nevezzük . Ha bal- és jobbideál is, akkor kétoldalú ideálnak, vagy egyszerűen ideálnak nevezzük. $A$ $AS$ $SA$ $A$ $A$ $A$

Az alcsoportok bármely családjának metszéspontja és egyesülése is alcsoport; ebből következik, hogy az alcsoportok teljes rácsot alkotnak . Példa egy olyan félcsoportra, amelyben nincs minimális ideál, a pozitív egész számok az összeadás művelettel. Ha van egy legkevésbé ideális és a félcsoport kommutatív, akkor az egy csoport.

Az asszociativitás miatt egy félcsoport elemének természetes foka helyesen meghatározható :

a^{n}={\overset {n}{\overset {a\cdot a\cdot \dots \cdot a)) }}

Egy elem fokára az összefüggés igaz . $a^{{m+n}}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{{nm}},\forall n,m\in {\mathbb N}$

A félcsoportok speciális esetei a felosztású félcsoportok , amelyekben minden két elemre , valamint a jobb és bal hányadosra van definiálva. $a$ $b$ $(a/b)$ $(b/a)$

Egy véges félcsoportnak mindig van egy idempotens (egy eleme, amelyhez ). $aa=a$

A félcsoport homomorfizmus egy olyan leképezés, amely megőrzi egy félcsoport szerkezetét. Ugyanis egy félcsoportról félcsoportra való leképezést homomorfizmusnak nevezzük, ha . Két félcsoport és izomorfnak mondjuk , ha létezik bijektív homomorfizmus . $f$ $R$ $S$ $\forall a,b\in S\ f(ab)=f(a)f(b)$ $S$ $T$ $f\kettőspont S\-be T$

Green kapcsolatai

1951 -ben James Green öt alapvető ekvivalencia relációt vezetett be egy félcsoporton. Elengedhetetlennek bizonyultak a félcsoport lokális és globális megértéséhez. Green relációit egy félcsoporton a következő képletek határozzák meg: $S$

aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}

aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b

aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}

H=L\cap R

D=R\vee L

A definícióból egyenesen következik, hogy jobboldali kongruencia és bal kongruencia. Az is ismert, hogy . A félcsoportok elméletének egyik legalapvetőbb állítása Green lemmája, amely kimondja, hogy ha az és elemek R-ekvivalensek, , úgy, hogy , és a megfelelő jobbra eltolódások, akkor kölcsönösen inverz bijekciók on és fordítva. Megtartják a H-osztályt is. $R$ $L$ $D=R\circ L=L\circ R$ $a$ $b$ $u$ $v$ $au=b$ $bv=a$ $p_{u},p_{v}$ $p_{u},p_{v}$ $L_{a}$ $L_{b}$

Jegyzetek

↑ Lyapin, 1960 , p. 28.
↑ Lyapin, 1960 , p. 29.
↑ Lyapin, 1960 , p. 104.

Irodalom

Shevrin L. N. . fejezet IV. Félcsoportok // Általános algebra / Az általános alatt. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. — 480 s. — (Referencia matematikai könyvtár). — 25.000 példány. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Lyapin E. S. Félcsoportok. - M. : Fizmatlit, 1960. - 592 p.