Félcsoport ideális

A félcsoport ideálja a félcsoport olyan részhalmaza, amely a -ból származó elemekkel való szorzásra zárva van , ahol a szorzás egy félcsoporton végzett algebrai műveletként értendő. $I$ $S$ $S$

Definíció

Egy félcsoport egy nem üres részhalmazát bal ideálisnak nevezzük , ha: , ahol az elemek és szorzatainak halmaza . $I$ $S$ $S$ $SI\subset I$ $SI$ $si$ $s\in S$ $i\in I$

$I$ helyes ideálnak nevezzük , ha: . $IS\subset I$

$I$ kétoldalú ideálnak nevezzük , ha mindkét feltétel teljesül. Ideálnak is nevezik, ha bal- vagy jobboldali ideálról van szó $I$ $S$ .

Egy tetszőleges félcsoportban bármely nem üres részhalmaz esetén a szorzat egy jobboldali ideál, egy bal ideál és egy kétoldalú ideál. $S$ $R\subset S$ $RS$ $SR$ $SRS$

Bármely félcsoport triviális ideáljai a félcsoport nulla eleméből (ha van ilyen) és a teljes félcsoportból álló halmaz.

Példák

A páros számok halmaza a természetes számok félcsoportjának kétoldali ideálját alkotja a szorzási művelet szempontjából . Ez abból következik, hogy a páros szám bármely másikkal megszorozva páros lesz. $(\mathbb {N} ,\cdot )$

A konstans függvények halmaza az összes valós függvény félcsoportjának kétoldalú ideálja a kompozíciós művelet szempontjából : $F$

Legyen az összes konstans függvény halmaza (vagyis bármelyik esetén az érték nem függ -től ).

C

c\in C

c(x)

x\in \mathbb {R}

Ahhoz, hogy egy halmaz kétoldalú ideál legyen, bal- és jobbkezes ideálnak is kell lennie .

C

F

F

$C$ balkezes ideál , hiszen $F$ $\forall f\in F,\forall c\in C:fc=f(c(x))=f(const)=const\in C$
$C$ jobbkezes ideál, hiszen $\forall f\in F,\forall c\in C:cf=c(f(x))=const\Rightarrow CF\subset C$

Legyen az összes periodikus függvény részhalmaza. $S$
1. $S$ baloldali ideál a szuperpozíció tekintetében. A periodikus függvény értékkészlete egy periodikus sorozat ( , ahol a függvény periódusa), nyilvánvaló, hogy egy periodikus sorozat függvénye periodikus függvény: $F$ $s(x)=s(x+T)$ $T$ $f(s(x))=f(s(x+T))\Jobbra \forall f\in F,\forall s\in S:fs\Subset S$
2. De ez nem helyes ideál. Ennek belátásához elegendő egy példát hozni, ahol van ilyen és , hogy a feltétel nem teljesül. Vegyük a következő függvényeket: , , amelyek szuperpozíciója nem periodikus függvényt eredményez . $S$ $f\in F$ $s\in S$ $sf\in S$ $sin(x)\in S$ $x^{2}\in F$ $sin(x^{2})$

Legyen a szorzás műveletére tekintettel az összes sorrendű négyzetmátrix félcsoportja , akkor az a mátrixokból álló halmaz, amelyben egy fix oszlop minden eleme egyenlő , bal ideált alkot. $(\mathrm {K} ,\cdot )$ $n$ $0$

Legyen az összes degenerált mátrix halmaza . Ekkor - egy kétoldali ideál , mivel egy degenerált mátrix szorzata bármely mással degenerált mátrix lesz. $D$ $D$ $(\mathrm {K} ,\cdot )$

A félcsoportok fő ideáljai

Az elem által generáltfélcsoport főideálja (bal, jobb, kétoldalas)a legkisebb ideál (illetve bal, jobb, kétoldalas), amely tartalmazza. A fő bal, jobb és kétoldali ideál felírható mint: $S$ $\alpha$ $\alpha$

L=S\alpha \cup \alpha

R=\alpha S\cup \alpha

D=S\alpha S\cup \alpha S\cup S\alpha \cup \alpha

Ha a félcsoportban van semleges elem , akkor a fő bal, jobboldali, kétoldali ideálok a következő formában jelennek meg: $e$

L

S\alpha

R

\alpha S

D

S\alpha S

A fenti példákból emeljünk ki néhány fő eszményt:

1) A páros számok halmaza a félcsoport fő kétoldali ideálja . Mivel a halmaz minden eleme 2-ként van ábrázolva , ezért a generáló eleme 2. $én$ $(N,\cdot )$ $én$ $k$

2) Bizonyítottuk, hogy a konstans függvények halmaza az összes valós függvény félcsoportjának kétoldalú ideálja a szuperpozíció tekintetében. Vegyünk valamilyen állandó függvényt generáló elemnek. Ekkor az alak halmaza generálja a halmazt , mivel ez lefedi az összes lehetséges valós függvényt (elegendő az = + alak függvényhalmazát venni , ahol ), amiből az következik, hogy a bal főideál. Azonban nem generál , és ezért nem fő jogideál. $C$ $F$ $c(x)$ $Fc$ $C$ $f(x)$ $x$ $r$ $r$ $\ban ben$ $R$ $C$ $cF$ $C$ $C$

Irodalom

E. S. Lyapin, „Félcsoportok”, 1960