Számítási rács

A számított (számítási) rács egy függvény definíciós tartományában  meghatározott pontok (rácscsomópontok) halmaza .

A differenciál- és integrálegyenletek numerikus megoldásában számítási rácsokat használnak . A számítási rács felépítésének minősége nagymértékben meghatározza az egyenlet numerikus megoldásának sikerét (sikertelenségét).

Osztályozás és módszerek számítási rácsok felépítéséhez

A számítási rács felépítésének eljárását úgy tekinthetjük, mint egy függvény definíciós tartományának ( fizikai tartománynak ) egy-egy leképezését valamilyen egyszerűbb formájú számítási tartományra .

Algebrai hálózási módszerek

Az algebrai rácsokat algebrai egyenletek megoldásával építjük fel . Példa a szegmensen definiált legegyszerűbb rácsra az {xk}={x1, x2 … xK} halmaz, ahol xk=x1+dx*(k-1). A dx értékét ebben az esetben a számítási rács lépésének nevezzük. Az algebrai módszerek fő előnye a belső rácscsomópontok eloszlásának jó szabályozása és a numerikus megvalósításuk nagy hatékonysága, ami különösen fontos adaptív (a számítás során újrakonfigurált) rácsok felépítésénél. Az algebrai módszerek hátránya, hogy a határtörések a tartományba terjednek. A differenciális módszerek alkalmazása általában lehetővé teszi a simább hálók elérését.

Differenciális hálózási módszerek

Hálóépítés konform leképezések módszerével

A konform leképezés módszerével számítási rácsok készítésére szolgáló módszerek hátránya, hogy csak kétdimenziós rácsok készítésére alkalmasak.

A terület határához kapcsolódó (konzisztens) hálók

A számítási rács felépítésének legegyszerűbb módja, ha a teret a szabványos koordinátarendszerek alapfelületeitől egyenlő távolságra lévő felületek rendszerével particionáljuk, ami lehetővé teszi a megoldandó differenciálegyenletek írásának jelentős egyszerűsítését. Az interferencia koncepció hátránya abban rejlik, hogy a rács nem kapcsolódik a tartomány határainak alakjához - egy tetszőleges alakfüggvény definíciós tartományait figyelembe véve egyik koordináta egyenes sem esik egybe a határral, ami a peremfeltételek megvalósításának minőségének csökkenéséhez és (vagy) a számítási algoritmus rendkívüli bonyolításához, és ennek következtében a gépi idő költségének növekedéséhez. A görbe vonalú rácsvonalak használatával elérhető a függvény definíciós tartománya ( fizikai tartomány ) és a rácsvonalak határainak egybeesése, ami lehetővé teszi a peremfeltételek rögzítésének egyszerűsítését . A koordináták transzformációja miatt azonban általában további tagok jelennek meg a megoldandó egyenletben .

Strukturált (szabályos) rácsok

Azokban az esetekben, amikor a rácscsomópontok halmaza rendezett , a számítási rácsot strukturáltnak nevezzük. A strukturált rácsok használata (a strukturálatlanokhoz képest) általában lehetővé teszi a számítás időtartamának és a számítógép RAM szükséges mennyiségének csökkentését . Ugyanakkor a görbe vonalú szabályos rács felépítésének eljárása általában sok munkaerőt és számítógépes erőforrást igényel, összehasonlítva a szabálytalan rács felépítésének eljárásával.

Normál rács

Strukturálatlan (szabálytalan) rácsok

Strukturálatlan háló

Ortogonális és ortogonális hálók

Ahhoz, hogy a szükséges pontosságú differenciálegyenlet megoldását minimális számítógépes erőforrásokkal kapjuk meg, a számítási rácsnak számos tulajdonsággal kell rendelkeznie. Különösen, amint azt sok kutató tapasztalata mutatja, a számítási celláknak kis ferdeségnek kell lenniük, vagyis a számítási rácsot lehetőség szerint ortogonalizálni kell. A többdimenziós ortogonalizált számítási rács felépítésének problémája az I=int(wQ dV) függvény minimalizálásának problémájaként van megfogalmazva, ahol w egy súlyfüggvény, Q a rácsortogonalitás mértéke. Q mértékeként a koordináta rácsvonalak érintőinek skaláris szorzatainak összege használható. Megmutatható, hogy az ortogonalizált számítási rács felépítésének variációs problémája a Poisson-differenciálegyenlet-rendszer határérték-problémájává redukálódik. Mint ismeretes, a Poisson-egyenletrendszer adott peremfeltételek mellett leírja a hő eloszlását a vizsgált térfogatban, ami lehetővé teszi, hogy sima rácsvonalakat kapjunk, még akkor is, ha a fizikai tartomány határai meghajlottak. Az elliptikus egyenletekre érvényes maximális elv garantálja, hogy a számított koordináták maximális és minimális értékeit a régió határain elérjük. Mivel elliptikus egyenletrendszert használunk, peremfeltételként vagy a háló csomópontjainak koordinátáit a határokon (Dirichlet-feltétel), vagy a határokon lévő koordinátavonalak meredekségét (Neumann-feltétel) kell megadni.

Multigrid módszer

Responsive Grids

A nem folytonos megoldásokkal kapcsolatos problémáknál (beleértve a szuperszonikus gázdinamikai problémákat is) a számítási tartományt összetett inhomogén szerkezet többléptékű elemeinek jelenléte jellemzi. A kellően nagy zónák a megoldási paraméterek kis vagy mérsékelt gradienssel rendelkeznek. Ugyanakkor vannak viszonylag szűk tartományok, ahol a megoldási paraméterek gradiensei nagy értékeket érnek el. Ezek lökéshullámok, érintkezési szakadások, határrétegek. Az ilyen típusú problémák megbízható numerikus megoldásához kis térbeli lépésekkel rendelkező számítási rácsokat kell használni. Ebben az esetben a számítási költségek olyan jelentőssé válnak, hogy a számítástechnika korlátai miatt nem mindig sikerül kellően pontos feladatmegoldást kapni. Ilyen esetekben kívánatossá válik olyan dinamikusan adaptív rácsok alkalmazása, amelyek lehetővé teszik kis térbeli rácstávolságok alkalmazását, ahol szükséges, hogy megfeleljenek a numerikus módszerek szigorú követelményeinek, miközben a mérsékelt számítási követelményeket megtartják. A dinamikusan adaptív rácsok módszerei az egyik leghatékonyabb módszer a numerikus megoldás pontosságának javítására több térbeli léptékű számítási tartományban, tükrözve a megoldás inhomogén szerkezetét. A dinamikusan adaptív rácsok módszereinek fő gondolata a cellák méretének csökkentése a számítási tartomány azon területein, ahol nagy megoldási hibák fordulnak elő. Mivel a legtöbb esetben a kívánt megoldás ismeretlen, és lehetetlen meghatározni a hibát, ami egy bizonyos normában a pontos és közelítő megoldások különbsége, ezért a megoldási paraméterek gradienseit vagy eltéréseit leggyakrabban a megoldás mértékeként használják. hiba. Az adaptációs folyamatnak két szakasza van: a kritérium munkája és a tényleges adaptációs eljárások.

alkalmazkodási eljárások. A szakirodalom a következő főbb megközelítéseket említi: teljes háló regenerálás; a sejtek helyi zúzása-egyesítése; mozgó csomópontok. A háló teljes regenerálása abból áll, hogy a régi hálón kapott információk felhasználásával új hálót építünk, és az oldatot újra interpoláljuk. A csomópontok mozgatásának módszere feltételezi, hogy a számítási rács teljes száma rögzített. Újraelosztásukat azért is hajtják végre, hogy növeljék a rács sűrűségét azokon a területeken, ahol az oldat szingularitásai lokalizálódnak, és ritkítása, ahol az ilyen szingularitások hiányoznak. A számítási rács celláinak lokális felosztásának-egyesítésének módszere a megoldás szingularitásainak lokalizációja közelében további csomópontok beépítésére korlátozódik, az extra csomópontok egyidejű eltávolításával azokban a régiókban, ahol a megoldás nem tartalmaz szingularitást. A két szélsőséges módszernél szükséges a számítási rács kívánt minőségének fenntartása.

Többblokkos rácsok

Irodalom

Lásd még