Dirichlet-eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A valószínűségelméletben és a matematikai statisztikában a Dirichlet-eloszlás (amelyet Johann Peter Gustav Lejeune-Dirichlet- ről neveztek el ), amelyet gyakran Dir( α ) jelölnek, az α vektorral paraméterezett nemnegatív valós számok folytonos többdimenziós valószínűség-eloszlásának családja . A Dirichlet-eloszlás a Béta-eloszlás általánosítása többváltozós esetre. Ez azt jelenti, hogy a valószínűségi sűrűségfüggvény azt a valószínűségi valószínűséget adja vissza, hogy a K egymást kölcsönösen kizáró esemény mindegyikének valószínűsége egyenlő , feltéve, hogy minden eseményt egyszer megfigyeltek . $x_{i}$ $\alpha _{i}-1$

Valószínűségi sűrűségfüggvény

A K rendű Dirichlet-eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye [1] :

f(x_{1},\pontok ,x_{K};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha )} }\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}

ahol , , , és egy többdimenziós béta függvény , ahol $x_{i}\geq 0$ $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1$ $\alpha _{i}>0$ ${\mathrm {B} (\alpha )}={\frac {\prod \limits _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left( \sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}}$ ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).$

Tulajdonságok

Hagyjuk , majd [1] $X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operátornév {Dir} (\alpha )$ $\alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i},$

\mathrm {E} [X_{i}\mid \alpha ]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}},

\mathrm {Var} [X_{i}\mid \alpha ]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{ 0}^{2}(\alpha _{0}+1)}},

\mathrm {Cov} [X_{i}X_{j}\mid \alpha ]={\frac {-\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{ 2}(\alpha _{0}+1)}}.

Az eloszlási mód az x ( x 1 , …, x K ) vektor

x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K)),\quad \alpha _{i}>1.

A Dirichlet-eloszlás a multinomiális eloszlás előtti konjugátum , nevezetesen: if

\beta \mid X=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{K})\mid X\sim \operatorname {Mult} (X),

ahol β i az i előfordulásának száma egy n pontból álló mintában egy diszkrét eloszlásban az {1, …, K } -on keresztül , X -en keresztül , akkor

X\mid \beta \sim \operatorname {Dir} (\alpha +\beta ).

Ezt az összefüggést használják a Bayes-statisztikában egy n mintából álló diszkrét valószínűségi eloszlás látens paramétereinek X becslésére. Nyilvánvaló, hogy ha a priort Dir( α )-ként jelöljük, akkor a Dir( α + β ) a β hisztogrammal végzett megfigyelések sorozata utáni posterior eloszlás .

Kapcsolatok más disztribúciókkal

Ha azért $i\in\{1,2,\ldots ,K\},$

Y_{i}\sim \operátornév {Gamma} ({\textrm {shape}}=\alpha _{i},{\textrm {scale}}=1)

ettől függetlenül akkor

V=\sum _{i=1}^{K}Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} ({\textrm {shape}}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{ i},{\textrm {scale}}=1),

és

(X_{1},\ldots ,X_{K})=(Y_{1}/V,\ldots ,Y_{K}/V)\sim \operatorname {Dir} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).

Bár X i nem független egymástól, független gamma valószínűségi változók halmazából is előállíthatók. Sajnos, mivel az összeg elveszik az X = ( X 1 , …, X K ) képződése során, lehetetlenné válik a gamma valószínűségi változók kezdeti értékeinek visszaállítása csak ezekből az értékekből. Tekintettel azonban arra, hogy független valószínűségi változókkal könnyebb dolgozni, a paraméterek e transzformációja hasznos lehet a Dirichlet-eloszlás tulajdonságainak bizonyítására. $K$ $V$

Véletlenszám generálás

Ebből az összefüggésből közvetlenül következik a paraméterekkel rendelkező K dimenziójú Dirichlet-eloszlás véletlenvektorának elkészítésének módszere . Először K független véletlenszerű mintát kapunk gamma-eloszlásokból , amelyek mindegyikének van egy sűrűsége $x=(x_{1},\lpontok,x_{K})$ $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})$ $y_{1},\ldots ,y_{K}$

{\frac {y_{i}^{\alpha _{i}-1}\;e^{-y_{i))}{\Gamma (\alpha _{i))))),

majd tedd

x_{i}=y_{i}\left/\sum _{j=1}^{K}y_{j}\right..

A paraméterek vizuális értelmezése

Példaként a Dirichlet-eloszlás alkalmazására javasolhatunk egy olyan problémát, amelyben a szálakat (mindegyik kezdeti hossza 1,0) K különböző hosszúságú részre kell vágni úgy, hogy minden alkatrész adott átlagos hosszúságú legyen, de a az alkatrészek relatív hosszának némi eltérésének lehetősége. Az α / α 0 értékek határozzák meg az eloszlásból adódó menetrészek átlagos hosszát. Az átlag körüli diszperzió fordítottan arányos α 0 -val .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Groot, 1974 , p. 56-58.

Irodalom

M. de Groot Optimális statisztikai döntések = Optimal Statistical Decisions. —M.: Mir, 1974. — 492 p.