Áramlás (geometriai mértékelmélet)

Az áramlás a részsokaság fogalmának általánosítása, amely kulcsszerepet játszik a geometriai mértékelméletben . Különösen az áramlásokat használják a szingularitásokkal rendelkező minimális felületek létezésének bizonyítására.

Az áramlásokat általánosított függvényként definiáljuk – az áramlás egy lineáris függvény a differenciálformák terén .

Definíció

Jelölje a sima formák terét , kompakt alátámasztással egy sima elosztón . Az áramlást lineáris függvényként határozzuk meg egy folytonos eloszlás értelmében . Vagyis a lineáris funkcionális $\Omega _{c}^{m}(M)$ $m$ $M$ $\Omega _{c}^{m}(M)$

T\colon \Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R}

egy -folyam, ha bármely olyan sima formák sorozata esetén, amelyek nyírási hordozói egy kompakt halmazban helyezkednek el, konvergálva a nulla alakhoz $m$ $\omega_{k}$ $C^\infty$

T(\omega _{k})\ to 0

Jegyzetek

A -dimenziós tér erre a valós vektortérre áramlik . ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ $m$ $M$

Az általános függvények számos tulajdonsága átkerül a folyamokra. Például definiálhatunk egy folyamvivőt egy maximális nyitott halmaz komplementereként úgy, hogy $T$ $U\subset M$ $T(\omega )=0$ bármilyen formához . $\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)$
- A kompakt alátámasztású -dimenziós áramlások terét általában jelöli . $m$ ${\mathcal {E}}_{m}(M)$

Az áramlások tere természetesen gyenge topológiával rendelkezik. $T_{k}\to T\quad \iff \quad T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .\,$

Normák

Az összes áramlás terének egy alterén több normát is meghatározhatunk. Az egyik ilyen norma a tömeg .

\mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega )\colon \sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\},

hol van a -norma a formák terén. $|\vert \omega (x)\vert |$ $L^{\infty }$

Az áramlás tömege egy részsokaság térfogatának természetes általánosítása.

Lapos norma, definíció szerint

\mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A)\kettőspont A\in {\mathcal {E)) _{m+1}\}.

Irodalom

Federer G. Geometriai mértékelmélet. - 1987. - 760 p.