Bell polinomok

A matematikában , különösen a kombinatorikában a Bell polinomok a következő alakú polinomok

B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n!  \a j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left( {x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{ j_{n-k+1}},

ahol az összeget átvesszük a nemnegatív egész számok j 1 , j 2 , j 3 , ..., j n − k +1 összes sorozatát úgy, hogy

j_{1}+j_{2}+\cdots =k

és

j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots =n.

A Bell polinomokat E. Bell matematikusról nevezték el .

Teljes Bell polinomok

Összeg

B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2} ,\pontok ,x_{n-k+1})

néha n- edik teljes Bell - polinomnak is nevezik . A teljes Bell-polinomoktól való megkülönböztetés érdekében a fent meghatározott B n , k polinomokat néha "részleges" Bell-polinomoknak nevezik.

A teljes Bell-polinomok megfelelnek a következő feltételeknek:

B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n -1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\ -1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{ n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}& \cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.

Kombinatorikus értelmezés

Ha egy n szám partíciójában az 1 tag j 1 -szer, 2 j 2 -szer stb., akkor egy olyan n számosságú halmaz partícióinak száma , amelyben a részek számossága alkotja n ezt a partíciót a Bell-polinom megfelelő együtthatójához.

Példák

Ha n = 6, akkor k = 2 van

B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_ {2}+10x_{3}^{2}

mert

6 módszer a 6. számú kardinalitás halmazának felosztására az 5 + 1 kardinalitások részhalmazaira,
15 módja annak, hogy a 6. számú kardinalitás halmazát a 4 + 2 kardinalitások részhalmazaira bontsa,
10 módszer a 6. számú kardinalitás halmazának felosztására a 3 + 3. számú kardinalitás részhalmazaira.

Hasonlóképpen,

B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{ 2}x_{1}+15x_{2}^{3}

mert

15 módja annak, hogy egy 6-os kardinalitáskészletet 4 + 1 + 1-es kardinalitások részhalmazaira osszanak fel, 60 módja annak, hogy egy 6-os kardinalitáskészletet 3 + 2 + 1-es kardinalitások részhalmazaira osszanak fel, és 15 módszer a 6. számú kardinalitás halmazának felosztására a 2 + 2 + 2 számosság részhalmazaira.

Tulajdonságok

$B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k)){\binom {n-1}{k- 1}}(nk)!$

Kapcsolat Stirling és Bell számokkal

A B n , k ( x 1 , x 2 , …) Bell polinom értéke , ahol minden x i egyenlő 1-gyel, egy második típusú Stirling-szám :

B_{n,k}(1,1,\pontok )=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.

Összeg

\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,1,\pontok )=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\jobbra\}

az n- edik Bell - szám (egy n számosságú halmaz partícióinak száma ).

Konvolúció azonossága

Az x n , y n , n = 1, 2, … sorozatra a konvolúciót definiáljuk :

(x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{nj}.

(Megjegyezzük, hogy az összegzési határok itt 1 és n − 1, nem 0 és n .)

Tegyük fel, hogy a sorozatnak van egy n- edik tagja $x_{n}^{k\diamondsuit }$

\displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {faktorok} }.

Akkor

B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.

Például számoljuk ki . Mert $B_{4,3}(x_{1},x_{2})$

x=(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ldots ),

x\diamondsuit x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2 }\ ,\ldots ),

x\diamondsuit x\diamondsuit x=(0,\ 0,\ ​​​​6x_{1}^{3},\ 36x_{1}^{2}x_{2},\ldots ),

akkor

B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\diamondsuit x\diamondsuit x)_{4}}{3!)}}=6x_{1} ^ {2}x_{2}.

Alkalmazások

Faa di Bruno képlete

A Faa di Bruno képlet Bell-polinomokkal a következőképpen fogalmazható meg:

{d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\pontok ,g^{(n-k+1)}(x)\jobb).

Használhatunk Bell polinomokat is, ha

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad

és

\qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n},

akkor

g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{ 1},\pontok ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}.

Különösen a teljes Bell-polinomok jelennek meg egy formális hatványsor kitevőjének kiterjesztésében

\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{ \infty }{B_{n}(a_{1},\pontok ,a_{n}) \over n!}x^{n}.

Pillanatok és kumulánsok

Összeg

B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1 },\pontok ,\kappa _{n-k+1})

a valószínűségi eloszlás n- edik momentuma , amelynek első n kumulánsa egyenlő κ 1 , … , κ n . Más szóval, az n- edik momentum egyenlő az n- edik teljes Bell-polinom értékével az első n kumulánson.

Binomiális típusú polinomsorozatok ábrázolása

Adott számsorozatra a 1 , a 2 , a 3 , … feltesszük

p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{ k}.

Ekkor ez a polinomsorozat binomiális típusú , azaz. kielégíti a binomiális feltételeket

p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{nk}(y)

n ≥ 0 esetén . Tétel: Minden binomiális típusú polinomsorozatot ebben a formában ábrázolunk.

Ha figyelembe vesszük

{\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n))

formális hatványsorként, akkor minden n -re ,

h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).

Szoftver

A Bell-polinomok, a teljes Bell-polinomok és az általánosított Bell-polinomok a Mathematica -ban BellY néven , 2014. március 20-án archiválva a Wayback Machine -nél valósulnak meg .

Források

» Videó » Letöltés Kutató Eric Temple Bell Partition Polynomials (neopr.) // Annals of Mathematics . – 1927–1928. - T. 29 , 1/4 . - S. 38-46 . - doi : 10.2307/1967979 . — .
Louis Compet . Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions (angol) . - Dordrecht, Hollandia / Boston, USA: Reidel Publishing Company, 1974.
Steven Roman Az Umbral Calculus (neopr.) . — Dover Publications .
Khristo N. Boyadzsiev. Exponenciális polinomok, Stirling-számok és egyes gamma-integrálok értékelése // Absztrakt és alkalmazott elemzés : folyóirat. - 2009. - 1. évf. 2009_ _ — P. Cikkazonosító 168672 . - doi : 10.1155/2009/168672 . (a Bell-polinomok fogalmának elemi áttekintését is tartalmazza)
Silvia Noschese, Paolo E. Ricci. Többváltozós összetett függvények és Bell-polinomok differenciálása // Journal of Computational Analysis and Applications : folyóirat. - 2003. - 1. évf. 5 , sz. 3 . - P. 333-340 . - doi : 10.1023/A:1023227705558 . '
Vaszilij G. Voinov, Mihail S. Nikulin. Hatványsorokról, Bell polinomokról, Hardy-Ramanujan-Rademacher problémáról és statisztikai alkalmazásairól (angol) // Kybernetika : Journal. - 1994. - 1. évf. 30 , sz. 3 . - P. 343-358 . — ISSN 00235954 .
Kruchinin, VV, 2011, Derivation of Bell Polynomials of the Second Kind Archiválva 2015. szeptember 11-én a Wayback Machine -nél ( ArXiv )
Előadásjegyzetek archiválva : 2016. március 4. a Wayback Machine on Bell polinomok, példák