Átviteli funkció

Az átviteli függvény a dinamikus rendszer matematikai leírásának egyik módja . Elsősorban a vezérléselméletben , a kommunikációban és a digitális jelfeldolgozásban használják . Egy differenciális operátort jelöl, amely egy lineáris stacionárius rendszer bemenete és kimenete közötti kapcsolatot fejezi ki . A rendszer bemeneti jelének és az átviteli funkciónak ismeretében lehetséges a kimeneti jel visszaállítása.

A vezérléselméletben a folytonos rendszer átviteli függvénye a kimeneti jel Laplace-transzformációjának és a bemeneti jel Laplace-transzformációjának aránya nulla kezdeti feltételek mellett.

Mivel a rendszer átviteli függvénye teljes mértékben meghatározza annak dinamikus tulajdonságait, az ACS kiszámításának kezdeti feladata az átviteli függvény meghatározására redukálódik. A szabályozók beállításainak kiszámításakor az ipari vezérlőobjektumok meglehetősen egyszerű dinamikus modelljeit széles körben használják. Az átviteli függvény egy összetett változó tört-racionális függvénye különböző rendszerekre.

Lineáris helyhez kötött rendszerek

Legyen a lineáris stacionárius rendszer bemeneti jele , és legyen a kimeneti jele. Ekkor egy ilyen rendszer átviteli függvénye a következőképpen írható: $u(t)$ $y(t)$ $W(s)$

W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)))),

hol van az átviteli függvény operátora a Laplace transzformációban ,

s=\sigma +j\omega

U(s)

és ezek a jelek Laplace-transzformációi , illetve:

Y(s)

u(t)

y(t)

U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{ -st}\,dt,

Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{ -st}\,dt.

Diszkrét átviteli függvény

A diszkrét és a diszkrét-folytonos rendszerek esetében bevezetik a diszkrét átviteli függvény fogalmát . Legyen egy ilyen rendszer bemeneti diszkrét jele, és legyen diszkrét kimeneti jele, . Ekkor egy ilyen rendszer átviteli függvénye a következőképpen írható: $u(k)$ $y(k)$ $k=0,1,2,\pontok$ $W(z)$

W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}

ahol és a jelek z -transzformációja , illetve: $U(z)$ $Y(z)$ $u(k)$ $y(k)$

U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{{k=0}}^{\infty }u(k)z^{{- k))

Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{{k=0}}^{{\infty }}y(k)z^{ {-k}}

Kapcsolat más dinamikus jellemzőkkel

A rendszer AFC-jét az átviteli függvényből kaphatjuk meg, ha a komplex változót formálisan helyettesítjük a következővel: $s$ $j\omega$

W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega

Az impulzusátmeneti függvény az átviteli függvény eredetije (a Laplace-transzformáció értelmében).

Az átviteli függvény tulajdonságai, az átviteli függvény pólusai és nullái

1. Stacionárius rendszerek (azaz állandó komponensparaméterekkel rendelkező rendszerek) és csomópontos paraméterekkel az átviteli függvény egy komplex változó tört-racionális függvénye : $s$

W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{{m-1}}+ \dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{{n-1}}+\dots +a_{n}}}

2. Az átviteli függvény nevezője és számlálója a lineáris rendszer mozgásdifferenciálegyenletének karakterisztikus polinomja . Az átviteli függvény pólusait a nevező karakterisztikus polinomjának gyökeinek , a nullákat a számláló karakterisztikus polinomjának gyökeinek nevezzük .

3. Fizikailag megvalósítható rendszerekben az átviteli függvény számlálója polinomjának sorrendje nem haladhatja meg nevezője polinomjának sorrendjét , azaz. $m$ $n$ $m\leq n$

4. Az impulzusátmeneti függvény az átviteli függvény eredetije ( Laplace-transzformáció ).

5. Formális helyettesítésével a rendszer komplex átviteli függvényét kapjuk, amely argumentumaként egyszerre írja le a rendszer amplitúdó-frekvenciáját (a függvény modulusa formájában ) és fázis-frekvencia karakterisztikáját . $s=j\omega$ $W(s)$

Mátrix átviteli függvény

A MIMO rendszerek esetében bevezetik a mátrixátviteli függvény fogalmát . A mátrix átviteli függvény a rendszer bemeneti vektorától a kimeneti vektorig egy mátrix , a -edik oszlop -edik sorának eleme a rendszer átviteli függvényét jelenti a rendszer bemeneti vektorának -edik koordinátájáról a -edikre. a kimeneti vektor koordinátája. $U(t)$ $Y(t)$ $W=\{w_{i,j}\}$ $én$ $j$ $én$ $j$