A Laplace-integrál megfordítása

Legyen egy komplex változó függvénye a következő feltételeknek: $F$ $p=x+iy$

$F$ — elemző a területen $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$
a régióban egyenletesen viszonyítva $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $F\to 0$ $|p|\to +\infty$ $\arg p$
az integrál mindenkire konvergál $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!|F(p)|\,dy$

Ekkor a for függvény a valós változó függvényének képe , amely a képlettel kereshető $F$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $f$ $t$

f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!e^{pt}F(p) \,dp,\quad x>a

Ezt a képletet Mellin-formulának, az integrált pedig Mellin-integrálnak ( Hjalmar Mellin finn matematikusról kapta) nevezik . Sok esetben a Mellin-integrál a maradékok segítségével számítható ki . Ha ugyanis egy tartományban definiált függvény analitikusan kiterjeszthető egy véges számú szinguláris ponttal rendelkező komplex változó teljes síkjára, és az analitikus folytatása kielégíti a Jordan-lemma feltételei mellett , akkor $F$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n))$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p<a$

f(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{p=p_{k))(e^{pt}F(p))

Lásd még