Nomogram
Nomogram ( más görög νόμος - törvény és γράμμα - betű) - több változó függvényének grafikus ábrázolása , amely lehetővé teszi egyszerű geometriai műveletek (például vonalzó alkalmazása) segítségével a funkcionális függőségek számítások nélküli feltárását. Például oldjon meg egy másodfokú egyenletet képletek használata nélkül.
Nomográfia
A változók közötti függőségek geometriai ábrázolása, a számításokat kiküszöbölve, régóta ismert. A nomográfiai konstrukciók elméletének kialakulása a XIX. Az egyenes vonalú rácsos nomogramok megalkotásának elméletét először L. L. Lalanne francia matematikus alkotta meg (1843). A nomográfiai konstrukciók általános elméletének alapjait M. Okan (1884-1891) adta meg - munkáiban jelent meg először a "nomogram" kifejezés , amelyet 1890-ben a Párizsi Matematikusok Nemzetközi Kongresszusa hozott létre. N. M. Gersevanov (1906-1908) volt az első, aki ezen a területen dolgozott Oroszországban ; majd - N. A. Glagolev , aki létrehozta a szovjet nomográfiai iskolát .
A nomogramok sajátossága, hogy minden rajz a változók egy adott változási területét ábrázolja, és ezen a területen a változók minden értéke egy adott geometriai elem (pont vagy vonal) segítségével jelenik meg a nomogramon; a funkcionális függéssel összefüggő változók értékeinek képei a nomogramon bizonyos megfeleltetésben vannak, ami az azonos típusú nomogramoknál gyakori.
A nomogramokat a változók (pontok vagy vonalak) értékeinek megjelenítési módja és a változók képei közötti megfelelés beállításának módja különbözteti meg. A leggyakoribb nomogramok a következők:
igazított pontokból A három változós egyenleteknél három skálát használnak, amelyek úgy vannak megszerkesztve, hogy az egyenletet kielégítő három pont ugyanazon az egyenesen legyen – innen származik a nomogram típusának elnevezése. Velük kezdődött a nomográfia fejlődése - a matematika egy olyan ága, amely ötvözi a nomogramok felépítésének elméletét és gyakorlati módszereit. háló A rács-nomogramok egyenes vonalakból történő felépítéséhez funkcionális rácsokat használnak, amelyek közül a legegyszerűbbek logaritmikus és féllogaritmikusak. Az egyenesen kívül más úgynevezett feloldó nomogram indexek is használhatók : körök (Godsel), tetszőleges görbe (Schwerdt), rajznégyzet lábai (Sigler) stb. átlátszó A legegyszerűbb esetben két síkból áll - a fősíkból és az átlátszóságból -, amelyeken változók képei vannak. A transzparens gyakran átlátszó anyagból készül. Átlátszó nomogramra példa a diaszabály .A rácsos nomogramok készítésekor egy további feladat is kitűzhető, az anamorfózis : olyan transzformációt találni, amelyben a nomogram mindhárom vonalcsaládja vonalcsaládokká alakul, ami leegyszerűsíti a rajzolását.
A sokváltozós egyenletekhez összetett nomogramokat használnak, amelyek közös skálákkal vagy vonalcsaládokkal összekapcsolt nomogramokból állnak.
Példák
Párhuzamos ellenállás / vékony lencsék
Az ábrán látható nomogram lehetővé teszi a számítást
A nomogram érdekessége, hogy hasznos nemlineáris számításokat tesz lehetővé lineárisan beosztott skálákon egyenes vonal használatával.
Az A -t és B -t a vízszintes és a függőleges skálán mérik, és az eredményt az átlós skáláról olvassák le. Mivel arányos az A és B számok harmonikus középértékével , a képletnek számos alkalmazása van. Például az elektromos hálózatokban párhuzamosan kapcsolt vezetők ellenállása és az optikában a vékony lencsék egyenlete .
Az ábrán a piros vonal azt mutatja, hogy az 56 és 42 ohmos ellenállások párhuzamos kapcsolásával az áramkör ellenállása 24 ohm lesz. A nomogramon az is látszik, hogy a 24 cm -es gyújtótávolságú lencsétől 56 cm távolságra lévő tárgy 42 cm távolságban optikai képet alkot .
Khi-négyzet nomogram
Az ábra nomogramja felhasználható a jól ismert Pearson-féle illeszkedési teszt kiszámításához szükséges mennyiségek némelyikének közelítésére . Ez a nomogram görbe skálák használatát mutatja nemlineáris beosztással.
A megfelelő kifejezés:
A felső skála a megfigyelt értékek öt különböző intervallumának felel meg - A, B, C, D és E. A megfigyelt értéket ezek között az értékek között keresi, és kiválaszt egy címkét felette. Ezután a megfelelő görbe skálán kiválasztjuk a várható értéket. Például egy 9-es megfigyelt érték esetén az A intervallumban egy címkét választanak a 9-es szám helyett, és az A skálagörbét használják a várható értékhez. A 81-es megfigyelt érték esetén az E intervallumban 81 feletti jelet kell használni, a várható értékhez pedig egy E skála görbét. Ez lehetővé teszi több nomogram egy diagramba való illeszkedését.
Az ábrán a kék vonal mutatja a számítást
(9–5) 2/5 = 3,2,a piros pedig a számítás
(81 - 70) 2/70 = 1,7.A Yates-korrekciót gyakran használják a teszt elvégzésére – egyszerűen vonjon le 0,5-öt a megfigyelt értékekből. A Yates-korrigált teszt nomogramja összeállítható úgy, hogy minden "megfigyelési" skálát egyszerűen fél egységgel balra tolunk, így az 1,0, 2,0, 3,0, ... helyett 0,5, 1,5 értéknek tűnnek. , 2,5 , ….
Lásd még
Irodalom
- Pentkovsky M. V. Nomográfia . - M. - L .: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1949. - 280 p. - (Egy mérnök fizikai-matematikai könyvtára).
- Pentkovsky M. V. Számoló rajzok. (nomogramok). - 2. kiadás - M. , 1959.
- Gersevanov N. M. A nomográfia alapjai. - 2. kiadás - M. - L. , 1932.
- Glagolev N. A. A nomográfia elméleti alapjai. - 2. kiadás - M. - L .: GTTI, 1936.
- Glagolev N. A. Nomográfiai tanfolyam. - 2. kiadás - M. , 1961.
- Nyevszkij B. A. A nomográfia kézikönyve. - 2. kiadás - M. - L .: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1951. - 376 p.
- Nomográfiai gyűjtemény. - M. , 1951.
- Nomográfia / Pentkovsky M. V. // Nikko - Otoliths. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1974. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 kötetben] / főszerkesztő A. M. Prohorov ; 1969-1978, 18. köt.).
- Khovansky G.S. Nomográfia // Szerk. IM Vinogradova Matematikai Enciklopédia . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3: Koordináták - Monomiális .
- G. S. Khovanskii. Nomográfia (angol) // Matematikai enciklopédia . — Springer, Európai Matematikai Társaság. — ISBN 1402006098 .
Linkek
- Java Applet (angol) a legegyszerűbb nomogramok létrehozásához.