Nem predikativitás (matematika)

Egy definíció predikativitása a matematikában és a logikában lazán szólva azt jelenti, hogy egy definíció értelmessége egy definiált objektum jelenlétét jelenti [1] . Példa: egy objektumot valamely halmaz olyan elemeként definiálunk, amely kielégít egy bizonyos kapcsolatot közte és a halmaz összes eleme között (beleértve önmagát is ) [2] . Egyes esetekben a nem predikatív meghatározás félreértésekhez vagy akár ellentmondásokhoz is vezethet . Az ellentétes jelentésfogalom a predikativitás .

A formális nyelvű definíciókhoz az Encyclopedia of Mathematics egy szigorúbb változatot ad:

Egy tulajdonságot (pontosabban egy ezt a tulajdonságot kifejező nyelvi kifejezést) nem predikatívnak nevezünk , ha tartalmaz egy kötött változót, amelynek hatókörébe a definiálandó objektum tartozik. Egy tulajdonságot predikatívnak nevezünk , ha nem tartalmaz ilyen kapcsolódó változókat.

A non-predikativitásnak nincs általánosan elfogadott egyértelmű meghatározása, különböző források hasonló, de eltérő definíciókat adnak. Például a következő történik: egy X objektum definíciója nem predikatív, ha magára az X-re vagy (leggyakrabban) az X-et tartalmazó halmazra hivatkozik ; ugyanakkor teljesnek tűnik, bár ez a meghatározás hatással lehet az összetételére [3] [4] .

Példák

A nem predikatív konstrukció leghíresebb példája a Russell-paradoxon , amelyben minden olyan halmaz halmazát definiáljuk, amelyek nem tartalmazzák önmagukat. A paradoxon abban rejlik, hogy az így definiált halmaz belsőleg inkonzisztens - egyszerre tartalmazza önmagát és nem tartalmazza önmagát. Ennek a paradoxonnak egy egyértelmű történeti változata a „ borbély paradoxonja ”: a „falusi, aki megborotválja azokat a falusiakat, akik nem borotválják meg magukat” definíció nem prediktív, mivel a falusi lakost az összes falubelihez fűződő kapcsolata alapján határozza meg. , és vele) [2] . A nem predikativitás a halmazelmélet más paradoxonaiban is megtalálható [3] .

A mindenhatóság paradoxonát gyakran nem predikatív megfogalmazásoknak nevezik : „Tud-e Isten olyan követ teremteni, amelyet ő maga nem tud felemelni?” Itt a "mindenhatóság" fogalma használatos, amelynek meghatározása belsőleg ellentmondásos [5] . Hasonlóképpen elrendeződik a " hazug paradoxon " , amelyben az állítás tagadja önmagát.

A matematikában azonban jelentős számú, általánosan használt nem predikatív definíció létezik, amelyek nem okoznak problémákat és nem rendelkeznek egyszerű predikatív változattal. A klasszikus elemzésben például ez a definíciója egy számhalmaz legkisebb infimumának [6] :

Egy rendezett halmaz részhalmazának pontos (legnagyobb) infimuma az a legnagyobb elem , amely nem haladja meg a halmaz összes elemét

Egy másik példa egy általánosan elfogadott és meglehetősen biztonságos nem predikatív definícióra az elemzésben egy függvény maximális értékének meghatározása egy adott intervallumon, mivel a definiálandó érték minden mástól függ, beleértve önmagát is [7] .

A nem predikatív konstrukciók Gödel híres befejezetlenségi tételének bizonyítását használják fel : az eredményeként megszerkesztett „megdönthetetlen formula” önmaga bizonyíthatatlanságát állítja [8] .

Végül a logikában és a számítástechnikában léteznek rekurzív definíciók és rekurzív algoritmusok , amelyekben kezdetben a nem predikativitást biztosítják, és ezek szerves részét képezik.

Történelem

A "predikatív" és a "nem predikatív" kifejezéseket Russell (1907) [9] cikkében vezette be , bár a kifejezés jelentése akkoriban némileg eltérő volt. Henri Poincaré (1905-1906, 1908) veszélyes ördögi körnek minősítette a nem predikatív definíciókat, a halmazelmélet paradoxonainak fő forrásának tartotta őket. Russell támogatta ezt az értékelést, és Principia Mathematica című monográfiájában lépéseket tett a nem predikativitás ( típuselmélet és a "redukálhatóság axiómája") elkerülésére [10] [11] . Hermann Weyl "Das Kontinuum" című könyvében kifejtett egy filozófiai álláspontot, amelyet gyakran "predikativizmusnak" neveznek [12] .

Ernst Zermelo 1908-ban kifogásolta a túlságosan radikális megközelítést, és két példát hozott az elemzés során gyakran használt, meglehetősen ártalmatlan, nem predikatív definíciókra. Hermann Weyl megpróbált a legalacsonyabb felső korlát prediktív analógját találni, de nem járt sikerrel. Azóta senki sem tudott teljes körű elemzést felépíteni szigorúan predikatív alapon [1] [3] .

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1982 , p. 981.
  2. ↑ 1 2 Nem predikatív meghatározás Archív másolat 2018. február 3-án a Wayback Machine -nél // Great Russian Encyclopedia.
  3. ↑ 1 2 3 Kleene S. K. Bevezetés a metamatematikába. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1957. - S. 44-46. — 526 p.
  4. ↑ Filozófiai enciklopédikus szótár, 1983 , p. 433.
  5. ↑ Kline M., 1984 , p. 241.
  6. ↑ Kline M., 1984 , p. 241-242.
  7. ↑ Kline M., 1984 , p. 242.
  8. ↑ Uspensky V. A. Gödel befejezetlenségi tétele. — M .: Nauka, 1982. — 110 p. - ( Népszerű matematikai előadások ).
  9. ↑ Russell, B. (1907), A transzfinit számok és sorrendtípusok elméletének néhány nehézségéről. Proc. London Math. Soc., s2-4 (1): 29-53, doi: 10.1112/plms/s2-4.1.29.
  10. ↑ Feferman, Salamon . Predicativity archiválva : 2016. június 11. a Wayback Machine -nél (2002)
  11. ↑ Willard V. Quine kommentárja Bertrand Russell 1908-as matematikai logikája előtt, mint a típuselmélet alapján
  12. ↑ Horsten, Leon. Matematika filozófia  (angol) . – Stanford Filozófiai Enciklopédia. Letöltve: 2017. november 15. Az eredetiből archiválva : 2018. március 11.

Irodalom