Bose-Hubbard modell

A Bose-Hubbard modell hozzávetőleges leírást ad a bozonok térhálón való kölcsönhatásának fizikájáról . Ez szorosan kapcsolódik a Hubbard-modellhez , amely a szilárdtestfizikában a szupravezető rendszerek és a szilárd kristályos anyag atomjai közötti elektronok mozgásának hozzávetőleges leírásaként jelent meg. A Bose szó arra utal, hogy a rendszerben lévő részecske bozon. A modellt először H. Gersh és G. Knollman vezette be [ 1 ] 1963 - ban , a Bose-Hubbard modell segítségével a bozonikus atomokhoz hasonló rendszerek tanulmányozhatók optikai rácsban .. Ezzel szemben a Hubbard-modell a fermionokra (elektronokra) vonatkozik, és nem a bozonokra. Ezen túlmenően a modell Bose és Fermi részecskék kombinációira van általánosítva, ebben az esetben a Hamilton -modellnek megfelelően a modellt Bose-Fermi-Hubbard modellnek nevezzük.

Hamiltoni

Ennek a modellnek a fizikáját a Bose-Hubbard Hamiltonian írja le a második kvantálási ábrázolásban:

{\hat {H}}=-t\sum _{\left\langle i,j\right\rangle }\left(b_{i}^{\dagger }b_{j}+b_{j} ^{\dagger }b_{i}\jobbra)+{\frac {U}{2}}\sum _{i}{\hat {n}}_{i}\left({\hat {n}} _{i}-1\jobbra)-\mu \sum _{i}{\hat {n}}_{i},

ahol az i index a háromdimenziós rács összes rácscsomópontja feletti összegzést jelöli, és az i -vel szomszédos összes j csomópont összegzését jelenti . és a bozonikus teremtés és megsemmisítés operátorai $\left\langle i,j\right\rangle$ ${\displaystyle b_{i}^{\dagger ))$ $b_{i}^{}$ . Az operátorbeállítja a részecskék számát azi. Ataz átmeneti mátrix elem, melynek jelentése a bozonok mobilitása a rácsban. Az Uparaméteraz azonos helyen elhelyezkedő részecskék lokális kölcsönhatását írja le, haU> 0, akkor a taszítási potenciált, ha pedigU< 0, akkor a vonzást,-a kémiai potenciált. Ez a Hamilton-féle nem veszi figyelembe azokat a hatásokat, amelyek kicsik a termodinamikai határban, vagyis amikor a rendszer mérete és a csomópontok száma a végtelenbe hajlik. Ugyanakkor a csomópontok sűrűsége véges marad[1]. ${\hat {n}}_{i}=b_{i}^{\dagger }b_{i}$ $\mu$

A Bose-Hubbard modell Hilbert-terének dimenziója exponenciálisan növekszik az N részecskék és L rácscsomópontok számához képest . Ezt a következő képlet határozza meg: , míg a Fermi-Hubbard modellben a következő képlet adja meg: A fermionok és bozonok statisztikáinak különbségéből eltérő eredmények következnek . A Bose- és Fermi-részecskék keveréke esetén a megfelelő Hilbert-tér a Bose-Fermi-Hubbard-modellben a bozonikus modell és a fermionikus modell Hilbert-tereinek közvetlen tenzorszorzata. $D_{b}={\frac {(N_{b}+L-1)!}{N_{b}!(L-1)!)}$ $D_{f}={\frac {L!}{N_{f}!(L-N_{f})!}}.$

Fázisábra

Nulla hőmérsékleten a Bose-Hubbard modell ( rendellenesség hiányában ) vagy a Mott-szigetelő állapotában van - kis t / U -val , vagy szuperfolyékony állapotban - nagy t / U -val [2] . A Mott szigetelőt egész számú bozonsűrűség, sávrés jellemzi a részecske-lyuk gerjesztéshez és nulla cseppfolyósítás . Rendellenesség jelenlétében van egy harmadik fázis "Bose üveg". Jellemzője a véges cseppfolyósodás, a sávköz hiánya és a végtelen szuperfolyékonyság. [3] Ez egy szigetelő állapot, a sávköz jelenléte ellenére, mert az alagútképződés alacsony valószínűsége megakadályozza a gerjesztések kialakulását, amelyek bár közeli energiájúak, de térben elkülönülnek.

Megvalósítás optikai rácsokban

Az optikai rácsokban lévő ultrahideg atomok a Bose-Hubbard modell standard megvalósításának tekinthetők. A modell paramétereinek egyszerű kísérleti módszerekkel történő megváltoztatásának lehetősége, a rácsdinamika hiánya az elektronikus rendszerekben - mindez nagyon jó feltételeket biztosít a modell kísérleti vizsgálatához. [4] [5]

A Hamilton a második kvantálás formalizmusában egy ultrahideg atomokból álló gázt ír le egy optikai rácsban a következő formában:

H=\int d^{3}{\vec {r}}{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}})\left(-{\frac {\ hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{latt.}(x)\jobbra){\hat {\psi }}({\vec {r}})+{\frac { g}{2}}\int d^{3}{\vec {r}}{\hat {\psi }}^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }} ^{\dagger }({\vec {r}}){\kalap {\psi }}({\vec {r}}){\kalap {\psi }}({\vec {r}})-\ mu \int d^{3}{\vec {r}}\psi ^{\dagger }({\vec {r}}){\hat {\psi }}({\vec {r}}),

ahol a rács optikai potenciálja, g a kölcsönhatás amplitúdója (itt kontakt kölcsönhatást feltételezünk), és a kémiai potenciál. Erősen kötött elektronok standard közelítése ${\displaystyle V_{latt))$ $\mu$

{\displaystyle {\hat {\psi ))({\vec {r)))=\sum \limits _{i}w_{i}^{\alpha }({\vec {r)))b_{i }^{\alpha ))

megadja a Bose-Hubbard Hamiltoniánusokat, ha ezen felül ezt feltételezzük

\int w_{i}^{\alpha }({\vec {r)))w_{j}^{\beta }({\vec {r)))w_{k}^{\gamma } (r)w_{l}^{\delta }({\vec {r)))d^{3}{\vec {r}}=0

kivéve az eseteket . Itt van a Wannier funkció $i=j=k=l,\alpha =\beta =\gamma =\delta =0$ $w_{i}^{\alpha }({\vec {r)))$ az i rácshely körül lokalizált optikai rács potenciáljában lévő részecskére és a Bloch-zónára. [6] $\alpha$

Finom különbségek és közelítések

Az erősen kötött elektronok közelítése nagymértékben leegyszerűsíti a Hamilton második kvantálását, ugyanakkor számos korlátozást vezet be:

Az U és J paraméterek valójában a sűrűségtől függhetnek, mivel az elvetett tagok valójában nem nullák; Egy U paraméter helyett az n részecskekölcsönhatási energia a következőképpen írható le: megközelítőleg, de nem egyenlő U-val [6] $ENSZ}$
A gyors rácsdinamika figyelembe vételekor további feltételeket kell hozzáadni a Bose-Hubbard Hamilton-hoz, hogy a Schrödinger-egyenlet teljesüljön . Ez a Wannier függvények időfüggőségéből adódik. [7]

Kísérleti eredmények

A Bose-Hubbard modell kvantumfázisátalakulását a német Greiner és munkatársai [8] kutatóinak egy csoportja figyelte meg kísérletileg. A sűrűségfüggő interakciós paramétereket Emmanuel Bloch csoportja figyelte meg $U_{n}$ . [9]

A modell további alkalmazásai

A Bose-Hubbard modell a kvantumszámítás és a kvantuminformáció területén dolgozók számára is érdekes. Ezzel a modellel ultrahideg atomok összefonódását lehet tanulmányozni. [tíz]

Numerikus szimuláció

Az alacsony energiájú állapotok kiszámításakor a -vel arányos kifejezés valószínűtlenné teszi, hogy az egyik oldal nagy legyen, ami lehetővé teszi, hogy a helyi Hilbert-teret olyan állapotokra csonkoljuk, amelyek legfeljebb részecskéket tartalmaznak. Ekkor a Hilbert-tér lokális dimenziója lesz A teljes Hilbert-tér dimenziója exponenciálisan növekszik a rácsban lévő helyek számával, ezért a számítógépes szimulációk 15-20 rácscsomóponton lévő 15-20 részecskéből álló rendszerekre korlátozódnak. A kísérleti rendszerek a rács több millió oldalát tartalmazzák, átlagosan egységnyi kitöltéssel. Ennek a modellnek a numerikus szimulációjához a pontos diagonalizációs algoritmust egy lábjegyzetben mutatjuk be a cikkben. [tizenegy] $n^{2}U$ $d<\infty$ $d+1.$

Az egydimenziós rácsok a mátrixsűrűség-renormalizációs csoport módszerével tekinthetőkés a kapcsolódó technikák, mint például az Time-evolving block decimation algoritmus. Ez magában foglalja a Hamilton-háttérállapot kiszámítását a rács oldalain lévő több ezer részecskékből álló rendszerekre, valamint a dinamikájának modellezését, amelyet a Schrödinger-egyenlet szabályoz . A rács magasabb méreteit sokkal nehezebb modellezni növekvő összefonódás mellett . [12]

A kvantum Monte Carlo algoritmusok minden dimenziót figyelembe vehetnek, amelyek lehetővé teszik a Hamilton-féle termikus állapotok, valamint egy adott háttérállapot tulajdonságainak tanulmányozását.

Általánosítások

A Bose-Hubbard-szerű Hamiltonok a következőkért szerezhetők be:

sűrűség-sűrűség kölcsönhatású rendszerek ${\displaystyle Vn_{i}n_{j))$
hosszú távú dipólus kölcsönhatás [13]
belső spinstruktúra (a Bose-Hubbard modell spin-1) [14]
rendezetlen rendszerek [15]

Lásd még

Hubbard modell

Jegyzetek

↑ 1 2 Gersch HA , Knollman GC Quantum Cell Model for Bosons // Fizikai áttekintés. - 1963. - január 15. ( 129. köt. , 2. szám ). - S. 959-967 . — ISSN 0031-899X . - doi : 10.1103/PhysRev.129.959 .
↑ Kühner TD , Monien H. Az egydimenziós Bose-Hubbard modell fázisai // Physical Review B. - 1998. - December 1. ( 58. köt. , 22. szám ). - C. R14741-R14744 . — ISSN 0163-1829 . - doi : 10.1103/PhysRevB.58.R14741 .
↑ Fisher, Matthew P.A.; Grinstein, G.; Fisher, Daniel S. Boson lokalizáció és a szuperfluid-szigetelő átmenet // Physical Review B : folyóirat . - 1989. - 1. évf. 40 . - P. 546-570 . - doi : 10.1103/PhysRevB.40.546 . - . ,
↑ Jaksch D. , Bruder C. , Cirac JI , Gardiner CW , Zoller P. Cold Bosonic Atoms in Optical Lattices // Physical Review Letters. - 1998. - október 12. ( 81. évf. , 15. szám ). - S. 3108-3111 . — ISSN 0031-9007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.81.3108 .
↑ Jaksch D. , Zoller P. A hideg atom Hubbard-eszköztár // Annals of Physics. - 2005. - január ( 315. évf. , 1. szám ). - S. 52-79 . — ISSN 0003-4916 . - doi : 10.1016/j.aop.2004.09.010 .
↑ 1 2 Lühmann Dirk-Sören , Jürgensen Ole , Sengstock Klaus. Bozonok többpályás és sűrűség-indukált alagútja optikai rácsokban // New Journal of Physics. - 2012. - március 13. ( 14. évf. 3. szám ). - S. 033021 . — ISSN 1367-2630 . - doi : 10.1088/1367-2630/14/3/033021 .
↑ Łącki Mateusz , Zakrzewski Jakub. Az optikai rács atomjainak gyors dinamikája // Fizikai áttekintési levelek. - 2013. - február 5. ( 110. évf. 6. szám ). — ISSN 0031-9007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.110.065301 .
↑ Greiner M. , Mandel O. , Esslinger T. , Hänsch TW , Bloch I. Kvantum fázisátmenet szuperfolyadékból Mott-szigetelőbe ultrahideg atomok gázában. (angol) // Természet. - 2002. - 20. évf. 415. sz. 6867 . - P. 39-44. - doi : 10.1038/415039a . — PMID 11780110 .
↑ Will Sebastian , Legjobb Thorsten , Schneider Ulrich , Hackermüller Lucia , Lühmann Dirk-Sören , Bloch Immanuel . Koherens többtest-kölcsönhatások időfelbontású megfigyelése kvantumfázisú újjáéledések során // Természet. - 2010. - május ( 465. évf. , 7295. sz.). - S. 197-201 . — ISSN 0028-0836 . - doi : 10.1038/nature09036 .
↑ Romero-Isart, O; Eckert, K; Rodó, C; Sanpera, A. Szállítás és összefonódás generálása a Bose–Hubbard modellben // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical : folyóirat. - 2007. - Vol. 40 , sz. 28 . - P. 8019-8031 . - doi : 10.1088/1751-8113/40/28/S11 . - Iránykód . — arXiv : quant-ph/0703177 .
↑ Zhang, JM; Dong, R X. Exact diagonalization: The Bose–Hubbard modell mint példa // European Journal of Physics : folyóirat. - 2010. - 20. évf. 31 , sz. 3 . - P. 591-602 . - doi : 10.1088/0143-0807/31/3/016 . - Iránykód . - arXiv : 1102.4006 .
↑ Eisert J. , Cramer M. , Plenio MB Kollokvium: Területi törvények az összefonódás entrópiájára // Reviews of Modern Physics. - 2010. - február 4. ( 82. évf. , 1. szám ). - S. 277-306 . — ISSN 0034-6861 . - doi : 10.1103/RevModPhys.82.277 .
↑ Góral K. , Santos L. , Lewenstein M. Dipoláris bozonok kvantumfázisai optikai rácsokban // Physical Review Letters. - 2002. - április 12. ( 88. köt. , 17. szám ). — ISSN 0031-9007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.88.170406 .
↑ Tsuchiya Shunji , Kurihara Susumu , Kimura Takashi. Spin-1 bozonok szuperfluid–Mott szigetelő átmenete optikai rácsban // Fizikai Szemle A. - 2004. - október 28. ( 70. köt. , 4. sz.). — ISSN 1050-2947 . - doi : 10.1103/PhysRevA.70.043628 .
↑ Gurarie V. , Pollet L. , Prokof'ev NV , Svistunov BV , Troyer M. A rendezetlen Bose-Hubbard modell fázisdiagramja // Fizikai áttekintés B. - 2009. - december 17. ( 80. kötet , 21. szám ) . — ISSN 1098-0121 . - doi : 10.1103/PhysRevB.80.214519 .