A Bose-Hubbard modell hozzávetőleges leírást ad a bozonok térhálón való kölcsönhatásának fizikájáról . Ez szorosan kapcsolódik a Hubbard-modellhez , amely a szilárdtestfizikában a szupravezető rendszerek és a szilárd kristályos anyag atomjai közötti elektronok mozgásának hozzávetőleges leírásaként jelent meg. A Bose szó arra utal, hogy a rendszerben lévő részecske bozon. A modellt először H. Gersh és G. Knollman vezette be [ 1 ] 1963 - ban , a Bose-Hubbard modell segítségével a bozonikus atomokhoz hasonló rendszerek tanulmányozhatók optikai rácsban .. Ezzel szemben a Hubbard-modell a fermionokra (elektronokra) vonatkozik, és nem a bozonokra. Ezen túlmenően a modell Bose és Fermi részecskék kombinációira van általánosítva, ebben az esetben a Hamilton -modellnek megfelelően a modellt Bose-Fermi-Hubbard modellnek nevezzük.
Ennek a modellnek a fizikáját a Bose-Hubbard Hamiltonian írja le a második kvantálási ábrázolásban:
ahol az i index a háromdimenziós rács összes rácscsomópontja feletti összegzést jelöli, és az i -vel szomszédos összes j csomópont összegzését jelenti . és a bozonikus teremtés és megsemmisítés operátorai. Az operátorbeállítja a részecskék számát azi. Ataz átmeneti mátrix elem, melynek jelentése a bozonok mobilitása a rácsban. Az Uparaméteraz azonos helyen elhelyezkedő részecskék lokális kölcsönhatását írja le, haU> 0, akkor a taszítási potenciált, ha pedigU< 0, akkor a vonzást,-a kémiai potenciált. Ez a Hamilton-féle nem veszi figyelembe azokat a hatásokat, amelyek kicsik a termodinamikai határban, vagyis amikor a rendszer mérete és a csomópontok száma a végtelenbe hajlik. Ugyanakkor a csomópontok sűrűsége véges marad[1].
A Bose-Hubbard modell Hilbert-terének dimenziója exponenciálisan növekszik az N részecskék és L rácscsomópontok számához képest . Ezt a következő képlet határozza meg: , míg a Fermi-Hubbard modellben a következő képlet adja meg: A fermionok és bozonok statisztikáinak különbségéből eltérő eredmények következnek . A Bose- és Fermi-részecskék keveréke esetén a megfelelő Hilbert-tér a Bose-Fermi-Hubbard-modellben a bozonikus modell és a fermionikus modell Hilbert-tereinek közvetlen tenzorszorzata.
Nulla hőmérsékleten a Bose-Hubbard modell ( rendellenesség hiányában ) vagy a Mott-szigetelő állapotában van - kis t / U -val , vagy szuperfolyékony állapotban - nagy t / U -val [2] . A Mott szigetelőt egész számú bozonsűrűség, sávrés jellemzi a részecske-lyuk gerjesztéshez és nulla cseppfolyósítás . Rendellenesség jelenlétében van egy harmadik fázis "Bose üveg". Jellemzője a véges cseppfolyósodás, a sávköz hiánya és a végtelen szuperfolyékonyság. [3] Ez egy szigetelő állapot, a sávköz jelenléte ellenére, mert az alagútképződés alacsony valószínűsége megakadályozza a gerjesztések kialakulását, amelyek bár közeli energiájúak, de térben elkülönülnek.
Az optikai rácsokban lévő ultrahideg atomok a Bose-Hubbard modell standard megvalósításának tekinthetők. A modell paramétereinek egyszerű kísérleti módszerekkel történő megváltoztatásának lehetősége, a rácsdinamika hiánya az elektronikus rendszerekben - mindez nagyon jó feltételeket biztosít a modell kísérleti vizsgálatához. [4] [5]
A Hamilton a második kvantálás formalizmusában egy ultrahideg atomokból álló gázt ír le egy optikai rácsban a következő formában:
ahol a rács optikai potenciálja, g a kölcsönhatás amplitúdója (itt kontakt kölcsönhatást feltételezünk), és a kémiai potenciál. Erősen kötött elektronok standard közelítése
megadja a Bose-Hubbard Hamiltoniánusokat, ha ezen felül ezt feltételezzük
kivéve az eseteket . Itt van a Wannier funkcióaz i rácshely körül lokalizált optikai rács potenciáljában lévő részecskére és a Bloch-zónára. [6]
Az erősen kötött elektronok közelítése nagymértékben leegyszerűsíti a Hamilton második kvantálását, ugyanakkor számos korlátozást vezet be:
A Bose-Hubbard modell kvantumfázisátalakulását a német Greiner és munkatársai [8] kutatóinak egy csoportja figyelte meg kísérletileg. A sűrűségfüggő interakciós paramétereket Emmanuel Bloch csoportja figyelte meg. [9]
A Bose-Hubbard modell a kvantumszámítás és a kvantuminformáció területén dolgozók számára is érdekes. Ezzel a modellel ultrahideg atomok összefonódását lehet tanulmányozni. [tíz]
Az alacsony energiájú állapotok kiszámításakor a -vel arányos kifejezés valószínűtlenné teszi, hogy az egyik oldal nagy legyen, ami lehetővé teszi, hogy a helyi Hilbert-teret olyan állapotokra csonkoljuk, amelyek legfeljebb részecskéket tartalmaznak. Ekkor a Hilbert-tér lokális dimenziója lesz A teljes Hilbert-tér dimenziója exponenciálisan növekszik a rácsban lévő helyek számával, ezért a számítógépes szimulációk 15-20 rácscsomóponton lévő 15-20 részecskéből álló rendszerekre korlátozódnak. A kísérleti rendszerek a rács több millió oldalát tartalmazzák, átlagosan egységnyi kitöltéssel. Ennek a modellnek a numerikus szimulációjához a pontos diagonalizációs algoritmust egy lábjegyzetben mutatjuk be a cikkben. [tizenegy]
Az egydimenziós rácsok a mátrixsűrűség-renormalizációs csoport módszerével tekinthetőkés a kapcsolódó technikák, mint például az Time-evolving block decimation algoritmus. Ez magában foglalja a Hamilton-háttérállapot kiszámítását a rács oldalain lévő több ezer részecskékből álló rendszerekre, valamint a dinamikájának modellezését, amelyet a Schrödinger-egyenlet szabályoz . A rács magasabb méreteit sokkal nehezebb modellezni növekvő összefonódás mellett . [12]
A kvantum Monte Carlo algoritmusok minden dimenziót figyelembe vehetnek, amelyek lehetővé teszik a Hamilton-féle termikus állapotok, valamint egy adott háttérállapot tulajdonságainak tanulmányozását.
A Bose-Hubbard-szerű Hamiltonok a következőkért szerezhetők be: