Einstein sokaság

Ez a feltétel teljesül az Einstein-egyenletek esetlegesen nullától eltérő kozmológiai állandóval rendelkező megoldásaira , de általában az Einstein-sokaság dimenziója és aláírása tetszőleges lehet - nem kell a négydimenziós Lorentzi-sokaságnak lenniük általános relativitáselmélet .

Definíció

\mathrm {Ric} =k\cdot g

valamilyen állandóra , ahol a Ricci tenzort jelöli és a metrikus tenzort . $k$ $\mathrm {Ric}$ $g$

Abban az esetben, ha egy ilyen elosztót Ricci-laposnak is neveznek . $k=0$
Einstein egyenlete a kozmológiai állandóval a következő $\lambda$ $R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =8\cdot \pi \cdot T_{ab},$

vákuumban az energia-impulzus tenzor nulla. Tehát az egyenlet redukálódik

{\displaystyle T_{ab))

R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =0,

ami átírható mint

R_{ab}={\frac {2\cdot \Lambda }{n-2}}\cdot g_{ab}.

Vagyis a nálunk lévő kozmológiai állandóhoz .

\lambda

k={\tfrac {2\cdot \Lambda }{n-2))

Bármely állandó keresztmetszeti görbületű sokaság; különösen:
- Az euklideszi tér lapos, ezért Ricci-lapos, és különösen egy Einstein-sokaság.
- Egységgömb , Einstein s . ${\mathbb {S}}^{n}$ $k=n-1$
- A Lobacsevszkij tér Einstein-féle negatívval . $k$
Összetett projektív terek a Fubini-tanulmány metrikával . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
A Calabi-Yau Ricci tér lapos, és különösen egy Einstein-sokató.

a Hitchin-Thorpe egyenlőtlenség szükséges topológiai feltétele az Einstein-metrika létezésének egy zárt , orientált, négydimenziós sokaságon.