Coxeter csoport

A Coxeter-csoport egy -dimenziós poliéder lapjain való visszaverődések által generált csoport , amelyben minden diéderszög szerves része (vagyis valamilyen egész szám esetén egyenlő ). Az ilyen poliédereket Coxeter poliédereknek nevezik . Coxeter csoportokat határoztunk meg poliéderekre az euklideszi térben , egy gömbön és a Lobacsevszkij-térben is . $n$ $\pi$ $\pi /k$ $k$

Példák

A véges Coxeter-csoportok izomorfok, különösen az egyszerű Lie-algebrák Weyl-csoportjaival .
Coxeter poliéderek az euklideszi dimenziótérben : $n$
- $n$ - tetszőleges méretű dimenziós kocka.
- $n$ -dimenziós szimplex, amelyet olyan koordinátájú pontok alkotnak , hogy . $(x_{1},x_{2},\pontok,x_{n})$ $0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1$
Coxeter poliéder az egységnyi méretkörben : $n$
- szabályos dimenziós szimplex oldallal . $n$ $\pi/2$
Coxeter poliéder Lobacsevszkij terekben:
- Szabályos sokszög szöggel . $k$ $\pi/m$
- Szabályos téglalap alakú dodekaéder . $3$
- Szabályos téglalap alakú százhúsz cella méretű . $négy$

Tulajdonságok

A Coxeter-csoportok leírása és osztályozása Coxeter-Dynkin diagramok segítségével történik .
A Coxeter-poliéder a Coxeter-csoport alapvető tartománya.
- Különösen a Coxeter-politóp tesszellálja a teret .
- Pontosabban, bármely euklideszi Coxeter-csoport példa egy pontcsoportra .
Vinberg tétele. [1] A Lobacsevszkij-terekben a korlátos Coxeter-poliéderek kellően nagy dimenziói nem léteznek.
A gömb alakú Coxeter poliéderek egyszerűek.
A Coxeter-politópok egyszerűek .
Jelölje a poliéder lapjain reflexiókkal, és legyen a lapok és a lapok közötti diéderszög . Legyen , ha a lapok nem alkotnak kétszöget a poliéderben, és . Ezután a Coxeter csoport a következőképpen definiálható : $\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}$ $\pi/m_{ij}$ $én$ $j$ $m_{ij}=\infty$ $m_{ii}=1$ $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$

Változatok és általánosítások

A Coxeter-csoportok szintén a fent leírt csoportok osztályának általánosításai, amelyeket a következő hozzárendeléssel határoztunk meg : $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$ ,

hol és at .

m_{ii}=1

m_{ij}\geqslant 2

i\neq j

Lásd még

Jegyzetek

↑ E. B. Vinberg , Hiperbolikus reflexiós csoportok

Irodalom

HSM Coxeter. Reflexiók által generált diszkrét csoportok // Annals of Mathematics . - 1934. - 1. évf. 35 . - P. 588-621 . - doi : 10.2307/1968753 .